3.三个正数的算术-几何平均不等式教学设计及课堂实录

1.3 三个正数的算术---几何平均数

本节课有基本不等式引入三个正数的算术—几何平均数，再进行定理的推导和推广，尤其定理3的几种变样形式。再通过例题巩固，巩固过程中确定定理应用的条件。

定理的推导和推广略讲，几种变式详讲。在配凑使得“和”或“积”是定值时，又会忘记取等号的条件，所以以大量的例题和练习反复强调“一正、二定、三相等”，在不能取得等号的时候可以考虑函数的单调性。

幻灯片3

1．指出定理适用范围：

2．强调取“=”的条件：

ab定理2.如果

是正数，那么

ab（当且仅当

时取“=”号）

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

幻灯片4

利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件:

一正;二定;三相等. 有一个条件达不到就不能取得最值. 幻灯片5 a,bab

2aba,bR

幻灯片6

1.基本不等式及其常用变式22(1)ab2ab(a,bR)ab(2)ab(a,bR)2ab1(3)2(ab0)x（2x0bax22ab2ab(4)ab()(a,bR)22222(5)a+b+cab+bc+ca(a,b,cR)



基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？

abc3abc(ab)3ab3abc3abc(ab)c3ab3ab3abc2233323323333(abc)(ab)(ab)cc3ab(a222(abc)a2abbacbcc3a222(abc)(abcabbcca)1222(abc)(ab)(bc)(ca)02类比、猜想：若a,b.cR,那么abc3abc,当且仅当abc时，3等号成立。

语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的

几何平均。

幻灯片9

a+b+c3定理3：若a,b.c∈R,那么≥abc,3当且仅当a=b=c时，等号成立。+推论:

abc3abc(a,b,cR)3

abc3abc(1)abc为定值时3

当且仅当abc时,等号成立.

abc3abc()3(2)abc为定值时

幻灯片10

当且仅当abc时,等号成立.

关于“平均数”的概念：

a1,a2,1．如果

,anR,n1且nN*

则：

a1a2ann

叫做这n个正数的算术平均数。

na1a2an叫做这n个正数的几何平均数。

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．

幻灯片11

2.基本不等式：

≥

a1a2annna1a2annN*,aiR,1in例1、已知x，y，z∈R，求证：（x+y+z）≥27xyz。

+3xyz3证明：因为xyz，所以3幻灯片12 例２:

解:

(1)当0

20x1,

1x0,构造三个数相加等于定值.

yx2(1x)4x2x2(1x)

xx4(221x343)27幻灯片13

当x2421x,x3时,ymax27.

当0

1x20,解: 构造三个数相加等于定值.

由yx(1x2),得0x1,

y2x2(1x2)2

(2)的

12222x(1x)(1x)2222

12x1x1x34()2327幻灯片14 例３将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四

个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

解:

342当2x1x,x时,ymax,ymax32722即（x+y+z）27xyz设剪去的小正方形的边长为

x

3（x+y+z）xyz，27

x3

则其容积为 :

1V4x(a2x)(a2x)4

a2x

14x(a2x)(a2x)32a[]4327幻灯片15

3当且仅当4xa2x,x

a6时,Vmax2a327