二 一般形式的柯西不等式优质课教案整理

课题：柯西不等式（第一课时）

一、教材分析

柯西不等式是新课标人教A版选修4 -5第3讲“柯西不等式与排序不等式”第1节的内容，是继基本不等式之后又一经典不等式。教材安排柯西不等式的主要目的，是想通过柯西不等式的学习提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。

二、教学目标

1、知识与技能

认识二维、三维形式的柯西不等式的结构特点，理解其等号成立的条件，掌握柯西不等式及其变式，能用柯西不等式证明简单的不等式，会求一些简单函数的最值。

2、过程与方法

通过柯西不等式的几何背景平面向量的数量积的性质，探究发现二维形式柯西不等式，再利用类比的思想，让学生探究发现三维形式的柯西不等式。并在此基础上用柯西不等式证明简单的不等式、求一些简单函数的最值，通过几个例题与变式让学生充分掌握使用柯西不等式的结构特征，从而实现精准教学。

3、情感、态度与价值观

通过对柯西的了解，以及诗情画意般的关于柯西不等式的学习方

法的介绍，激发学生学习数学的兴趣。

4、教学重点与难点

重点：二维、三维形式的柯西不等式及其简单应用。

难点：二维、三维形式的柯西不等式的结构特点。

三、教学过程

活动1:创设情境、激发兴趣

简要介绍法国大数学家柯西的生平及其在科学领域的主要贡献。

设计意图：通过对数学家柯西的介绍，向学生渗透数学史的有关知识，以此激发学生的学习兴趣，同时引出本节课的主题，让学生知道所学内容与柯西有关，更加激发学生的学习热情。

活动2温故知新、发现定理

问题1:设和是平面内的两个向量，那么与的数量积的定义是什么? 学生1:己知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积，记作，即cos，

规定:零向量与任一向量的数量积为0。

问题2：根据数量积的定义怎样计算？与的大小关系如何？为什么？

学生：因为cos，

cos，

又cos1



当且仅当与共线时等号成立。

问题3

设在平面直角坐标系xOy中有向量a,b，c,d那么不等式又可以怎样表示呢? 学生3 acbda2b2c2d2

由于acbdacbd，

所以不等式还可以变形为acbda2b2c2d2

师

由于上式不等式两边都大于0，我们将上述不等式两边同时平方，不等式方向与原来一样，就可以得到今天我们要学习的柯西不等式。由于a,b,c,d可看作向量的坐标，所以都可以为任意的实数。

定理1（二维形式的柯西不等式）

设a,b,c,d都是实数，则a22b2c2d2acbd，当且仅当adbc时等号成立。

设计意图

从学生己经学过的平面向量的数量积的概念入手，探究发现柯西不等式的向量形式，自然流畅，符合从学生的“最近发展区”入手的基本教学理念。新课标指出“数学是自然的”，柯西不等式是柯西在研究分析中的“流数”问题时发现的，但对于中学生来讲就要以他们能够接受的自然的方式来呈现柯西不等式.另外，在必修4数量积的坐标运算课后习题中就己经编排了柯西不等式。因此，从平面向量的数量积入手探究发现柯西不等式，既不失去“自然”性，又便于学生理解。

活动3 深入研究、理解定理

定理1（二维形式的柯西不等式）

设a,b,c,d都是实数，则a22b2c2d2acbd，当且仅当adbc时等号成立。



这个定理反映了4个实数之间的特定数量关系，不仅排列形式规律明显，而且具有简洁、对称的美感，而且在数学和物理学中有重要的作用，它是柯西不等式最简洁的形式，每个括号里都是二项式，所以称这个不等式为二维的柯西不等式。

注：1、平方和的乘积大于等于乘积和的平方。

2、关键：找出两组数（应用时要对照柯西不等式的原型,进行多角度的尝试.）；项数：左右两边每个括号里都是两项；三部分（已知任意两部分可求第三部分）

3、取等条件cd0,或（比值相等）。

设计意图

让学生进一步理解柯西不等式结构特征。

活动 4 深入研究、拓展定理

2、（三维形式的柯西不等式）设a1,a2,a3,b1,b2,b3都是实数，约定bi0(i1,2,3)，则acbda

21aaa22222a2a3b12b2b3a1b1a2b2a3b3，当且仅当123时等号成立。

b1b2b3问题4请类比二维形式柯西不等式证明方法证明三维柯西不等式。

设计意图 让学生类比二维形式的柯西不等式证明方法，证明三维形式的柯西不等式，提高学生的学习能力，课堂展示能力，活跃课堂气氛。

问题5

请类比二维、三维形式的柯西不等式写出n维形式的不等式。

设计意图

让学生更进一步理解柯西不等式的结构，并进一步拓展加深柯西不等式。

问题6 根据二维形式的柯西不等式填空

1、aa4b2c4d2（当且仅当_____________时等号成立）

22、abcd_________2a,b,c,d03、2b2

（当且仅当_________时等号成立）

2a2b（当且仅当______________时等号成立）4、

122（当且仅当_________时等号成立）2ab_______(a0,b0)ba设计意图

巩固训练，再次强化对柯西不等式及其变式的结构特点的把握. 活动5 小试牛刀，运用定理

例1 已知实数x,y,z满足x22y23z23，求ux2y3z的最大值。

设计意图

通过教师对例1的讲解，1、让学生更进一步的理解使用柯西不等式的特征之一：已知条件与目标结构从次数上具有二倍关系，可以考虑使用柯西不等式，2、可以使用柯西不等式求函数的最值。

使用方法：常数1代换，配凑法，数学思想：转化的数学思想。让学生充分掌握使用柯西不等式的结构特征，从而实现精准教学。

问题7

学生分组展示、点评

全班共有6个小组，抽签决定三个小组展示下列例题与变式，三个小组点评。

149变式1 设a,b,cR,abc1，求证：36。

abc

展示1组：

点评1组：

例2求函数y2x142x的最大值。

展示2组：

点评2组：

变式2 已知a0,b0,c0，证明：

2229。

abbccaabc展示3组：

点评3组：

设计意图

通过分组讨论的方式，提高学生课堂参与度，充分发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力。变式1使用柯西不等式的结构特征是：已知条件与目标结构具有导数关系。变式1题型为：使用柯西不等式证明不等式。例2使用柯西不等式的结构特征是：根式的平方和为定值；变式2使用柯西不等式的结构特征为：具有互为倒数结构。让学生充分掌握使用柯西不等式的结构特征，从而实现精准教学。

活动6 交流体会，反思提升

课堂小结

1、基本内容：二维（三维）形式的柯西不等式

2、柯西不等式常见题型：证明不等式；求表达式最值；求值。

3、基本方法：类比，配凑法、常数代换法、换元法等

4、数学思想：数形结合的数学思想，转化的数学思想。

怎学柯西不等式，老师把它写成诗；

来龙去脉摸清楚，向量关系是基础；

证明方法要熟悉，比较构造有思路；

作用功能须彻悟，结构特征要牢记；

活学活用靠反思，转化变形找规律；

化和为积巧分离，化积为和细设计；

不等变换做传递，相等条件列算式；

细心求解方程组，算出结果心欢喜；

熟能生巧多练习，考试解题有灵气；

问渠那得清如许，三更灯火五更鸡。

设计意图

借助使用诗情画意般的一首诗提高学生的数学核心素养，激发学生学习数学的兴趣，提升课堂教学效果。

活动7小组讨论，拓展训练

已知a,b,cR，且a2bc1，a2b2c21，则求c的取值范围。

设计意图

本例题一个特例，是没有办法直接使用三维形式的柯

西不等式，需要降到二维，使用二维形式的柯西不等式。

课后延伸

强化定理

xy1、若直线1，通过点Mcos,sin，则（

）

ab1111A.

a2b21

B.a2b21

C.221

D.221

abab2、设a,b,m,nR，且a2b25，manb5，则m2n2的最小值为_____。

4、已知x,yR，且x2y3，求x5y1的最小值。

225、已知7sin24cos25，求tan的值。

6、设x,y为实数，若4x2xyy21，则2xy的最小值是_____。

7、求函数y3sinx41cos2x的最大值。

x2y28、已知x,yR，求证：21

yyxx2yx9、已知a0,b0，a3b32，证明

（1）aba5b54

（2）ab2。

设计意图

巩固训练，再次强化对柯西不等式及其变式的结构特点的把握。