3.三个正数的算术-几何平均不等式教学设计及课堂实录

《三个正数的算术—几何平均不等式》教学设计

课

题：三个正数的算术—几何平均不等式

1、

三个正数的算术-几何平均不等式及其推导；

内容

2、

利用基本不等式证明；

3、

利用基本不等式及其变形形式求最大（小）值。

知识与技能目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

目标

②过程与方法目标：掌握基本不等式的推导方法，会用基本不等式求最值

③情感、态度与价值观目标：培养类比、推广、求证的思想方法，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题

1、

概念教学：

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,cR，那么abc3abc（当且仅当abc时，等号成立）呢？试证明。

重要不等式：已知a,b,cR，那么abc3abc。当且仅当333教学重、难点

333abc时，等号成立。

注意：不等式成立的条件。可以拓宽为abc0

定理3：如果a,b,cR，那么教学设计过程

与设计意图

等号成立。

abc3abc。当且仅当abc时，3abc变形：abc33abc，abc

3推广：对于n个正数a1,a2,即：

,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均，3a1a2ann≥a1a2an

。当且仅当a1a2an时，等号成立。

n拓展：

n11a1a21anna1a2aaan12nan22a1a222an

训练 1.如果x>0，如何求

2.若a>b>0,则

a



1

abb

2、例题的教学

类型

一

用平均不等式求最值

【典型例题】

2x1x2

的最小值? 的最小值为_______. 1.当x∈(0,1)时，函数y=x2(1-x)的最大值是_______. 2.θ为锐角，求y=sin θcos2θ的最大值. 【解题探究】1.题1中各项系数有正，有负,如何构造和为定值？

2.题2中正余弦的积的形式，如何构造和为定值？

三个的基本不等式的初步运用

由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ abcbc【变式训练】已知a,b,c∈R+,求 ()(类型

二

用平均不等式证明不等【典型例题】

1.已知a,b,c∈R+,求证：(abc)(bcaaa)的最小值. bc式 1119).abbcac2

11133abc23.3bc2.设a,b,c∈R+，求证：a

11122)(abc)227.2bc【变式训练】已知a,b,c∈R+,证明a

(

教材例6

：

点评：考查①数学建模；②利用

abc求最大值，注意配abc3凑和取等号的条件。也可用导数求最值

变式训练1

求y

变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高342x最小值。

4x

各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．

小结：我们应该更牢记

一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________. 3、交流互动

教材P10习题1.1

第11、12、13、14题

4、课堂小结

通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

5、作业

基础训练P18课后知能检测

教学问题诊断

1、

基本不等式及其推广形式；

2、

基本不等式及其变形的应用，比较灵活

后记与反思