二 一般形式的柯西不等式教案及板书设计

柯西不等式导学案

一.复习引入

思考1：ab2ab（a,bR）是我们非常熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系，从中琢磨琢磨，能大胆提出关于(a2b2)(c2d2)(a,b,c,dR)与乘积ac、bd之间的不等关系的猜想吗？

猜想1：

猜想2：

等. 二.合作探究

思考2：我们来仔细研究猜想

，

若a,b,c,dR，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2

其中等号当且仅当adbc时成立。

这个不等式排列形式规律明显，具有简洁、对称的美感，

真理往往是美好的，反过来，这么美的不等式正确吗？分析分析看：

法一：分析法

还有其它方法证明吗？

法二：比较法

法三：综合法

这个不等式就是著名的

的二维形式. 柯西（Cauchy）简介：法国人，生于1789年8月21日

，死于1857年5月23日

，是十九世纪前半叶最杰出的科学家.

他奠定了数学分析的理论基础，

并在单复变函数、常微分方程、高等代数、天体力学、弹性力学、连续介质力学等方面都有较深入的研究，是有名的高产数学家，在数量上仅次于欧拉，柯西全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷，总计28卷，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能有四页。其中多有经典之作，数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西不等式、柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.

22

1

思考3：数学中的许多定理、公式往往有一些变式或推论，我能给出二维柯西不等式的如下几种变式：

1．

a2b2c2d2|acbd|(当且仅当ad=bc时，等号成立.) 道理如下：

2．(ac)(bd)(acbd)2.(a,b,c,dR)(当且仅当ad=bc时，等号成立.) 道理如下：

3．a2b2c2d2|ac||bd|（当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立）

道理如下：

思考4.再回头，品味二维柯西不等式的特征，我联想……

联想到：向量的模、向量的数量积

这便是二维柯西不等式的几何背景.即柯西不等式其实就是一个向量不等式，

真是“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”

二维柯西不等式的向量形式：

构造向量，本质就是构造两个二维数组. 三.形成训练

小试牛刀：1.

已知a,b为实数，求证(a4b4)(a2b2)(a3b3)2

2.求函数y5x1102x的最大值。

四.技能训练

庖丁解牛，游刃有余，来自于对牛的身体结构的深入研究、以及长期的实践. 例1. 设x，y 

R，且满足x2

 y2

 4，求x  2y之最大值. 结构分析：

另法：（课后思考）

2

22xy4变式：解方程组

x2y25

应用心得：

练习：（1）已知a,b是正数，且4a+3b=5,求证

（2）已知实数a,b,c满足abc1，及abc1，求a的取值范围.

另法：（课后思考）

五.内化总结

1.识记；

把握形式结构

2.证明；

注意几何背景

3.运用；

析结构定数组

六.拓展延伸

思考5：前面我们由二元均值不等式类比到三元、四元均值不等式，再进一步归纳到n元的均值不等式，我试着来将二维柯西不等式类比类比、归纳归纳：

类比得三维：

归纳到n维：

课后作业：完成上面类比和归纳并试证之.

3 222135.

ab

22224.若a,b,c,dR，则abcd(ac)2(bd)2 . 道理如下：

几何解释：

更一般：设

x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2几何解释：

（2）设x，y，z 

R，且满足x2

 y2

 z2

 5，求x  2y  3z之最大值.

（3）设a, b, c均为正数，且a2b3c2，求123之最小值及此时的a值例2.已abc2222知实数a,b,c,d满足abcd3，

a2b3c6d5. 试求a的最值

9222xyz在实数集内

解方程

48x6y24y39设P是三角形ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆

222

的半径，

证明xyz2Rabc

1

4