相似多边形教学内容概述

第2课时

教学目标

知识与技能：

1.了解成比例线段的概念,会判断已知线段是否成比例.

2.理解相似多边形的概念、性质及判定.

3.能根据相似多边形的有关概念和性质进行判断及有关计算.

过程与方法：

1.通过观察、测量、辨析、归纳等数学活动,经历相似多边形的概念的形成过程,体会由特殊到一般的数学思想方法.

2.通过应用成比例线段定义及相似多边形的性质进行有关计算,体会方程思想在几何中的应用,渗透数形结合思想.

情感态度价值观：

1.经历相似多边形概念的形成过程,培养学生的观察、推理能力,激发学生探究及发现数学问题的兴趣.

2.在探索相似多边形性质的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识和品质.在观察、操作、推理的探究过程中,体验数学活动充满探索性和创造性.

教学重难点：

【重点】

1.理解并掌握相似多边形的概念及性质.

2.能利用成比例线段的概念及相似多边形的性质进行有关计算.

【难点】

探索相似多边形的性质中的“对应”关系.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

形状相同的两个三角尺及边长不等的两个正方形.

教学过程：

导入一:

如图所示的一块黑板,长3米,宽1.5米,加一7.5厘米宽的边框,边框外围与边框里边的矩形形状相同吗?

【导入语】

我们凭借“直观”感觉这两个矩形的形状相同,实际上这两个矩形的形状是不相同的,通过今天的学习,我们将知道这两个矩形的形状为什么不相同.

导入二:

如图所示,将△ABC用2倍放大镜观察得到△A1B1C1,这两个三角形相似吗?

这两个三角形中的对应角、对应边之间有什么关系? 导入三:

如图所示,将四边形ABCD用2倍放大镜观察得到四边形A1B1C1D1,这两个四边形相似吗?这两个四边形中的对应角、对应边之间有什么关系?

一、成比例线段概念

(1)把九年级数学课本的两个邻边看作两条线段AB和CD,那么什么是这两条线段的比?

(这两条线段的长度比叫做这两条线段的比)

(2)对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段成比例.

(3)如何判断四条线段是成比例线段?

(四条线段中其中两条线段的比与另两条线段的比相等,就说这四条线段成比例)

(4)成比例线段的概念中应注意什么问题?

(成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段得到的比例式是不同的)

【师生活动】

学生在教师的引导下思考回答,教师课件展示成比例线段的概念.

二、认识相似多边形

思路一

(1)问题思考.

①在导入二的△ABC及用2倍放大镜观察得到的△A1B1C1中,对应角之间的数量关系为:∠A

∠A1,∠B

∠B1,∠C

∠C1;

对应边之间的数量关系为:=

=

.

=

,=

,=

,即

②在导入三的四边形ABCD及用2倍放大镜观察得到的四边形A1B1C1D1中,对应角之间的数量关系为:∠A

∠A1,∠B

∠B1,∠C

∠C1,∠D

∠D1;

对应边之间的数量关系为:=

,=

,=

,=

,即

=

=

=

.

③放大镜下的图形与原图形是否相似?两个图形的对应角、对应边之间有什么关系?

(相似,对应角相等,对应边成比例)

④你能尝试给出相似多边形的定义吗?并尝试用几何语言表示出来.

⑤相似比的值与两个相似多边形的顺序有关吗?

⑥相似多边形的对应角、对应边有什么特点?用几何语言怎样表示?

【师生活动】

(1)学生独立思考后小组合作交流,共同探究相似多边形的概念,教师要给学生足够的时间让学生交流,在巡视过程中帮助学习有困难的学生,并对学生的展示作出点评,同时规范学生的语言表达.

(2)相似多边形定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

【几何语言】

如图所示的两个大小不同的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;与四边形A1B1C1D1相似.

===,因此四边形ABCD

(3)相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

如上图,∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,∴

∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;

思路二

(1)动手操作并思考.

===.

①测量课前准备的两个相似三角形的各角(两个形状相同的三角尺),你得到什么结论?

(对应角相等)

②测量课前准备的两个相似三角形的各边,你发现了什么?

(对应边成比例)

③课前准备的两个正方形的各角相等吗?

(相等,都等于90°)

④课前准备的两个正方形的各边是否成比例?为什么?

(成比例,因为两个正方形边长分别相等,对应边的比都等于两个正方形的边长比.)

⑤你能根据以上探究活动得出相似多边形的概念吗?

⑥怎样用几何语言表示相似多边形的概念呢?

⑦相似比与两个相似多边形的顺序有关吗?

⑧相似多边形的对应角、对应边有什么特点?用几何语言怎样表示?

【师生活动】

学生在教师的引导下,边动手操作边思考回答问题,师生共同归纳出相似多边形的概念.

(2)相似多边形定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

【几何语言】

如图所示的两个大小不同的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;与四边形A1B1C1D1相似.

===,因此四边形ABCD

(3)相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

如上图,∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,∴

∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;三、例题讲解

===.

判断正误,正确的说明理由,错误的举出反例.

(1)所有的矩形都相似.

(

)

(2)所有的菱形都相似.

(

)

(3)所有的正方形都相似.

(

)

(4)所有的等腰直角三角形都相似.

(

)

(5)所有的等边三角形都相似.

(

)

【师生活动】

学生独立思考后小组讨论交流,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评,并指出易错点,强化相似多边形的判定方法.

(教材例题)如图所示,四边形ABCD与EFGH相似,求角α,β

的大小和EH的长度x.

【思考】

(1)相似多边形的性质是什么?

(2)根据相似多边形的性质,你能求出∠F,∠G的大小吗?

(3)四边形的内角和是多少度?

(4)由四边形内角和定理,能否求出∠H的值?

(5)相似四边形中,对应边AB与EF,AD与EH之间有什么关系?

(6)在比例式中,已知三条线段的长能否求出第四条线段的长?尝试求出EH的值.

【师生活动】

学生在教师问题的指导下独立思考,完成解答过程,小组之间交流结果,小组代表板书过程,教师点评,归纳总结.

解:∵四边形ABCD与四边形EFGH相似,

∴α=∠C=83°,∠A=∠E=118°,

即=,解得x=28.

=,

在四边形ABCD中,β=360°-83°-78°-118°=81°.

【教师追问】

利用相似多边形的性质,可以解决哪种类型的几何问题?

(求角的大小、线段的长度;证明角相等、线段成比例等)

[知识拓展]

(1)式子=也可以写成a∶b=c∶d,通常这里的a叫做第一比例项,b叫做第二比例项,c叫做第三比例项,d叫做第四比例项.

(2)有时在=中,b=c,例如b2(或c2)=ad.

=,这时我们把b(或c)叫做a,d的比例中项,此时

(3)在式子=的两边同时乘bd,得ad=cb,在与比例有关的计算中,我们常通过上述变形转化字母之间的关系.

(4)通常情况下,四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b和c,d的单位分别一致也可以.

(5)在相似多边形中,“对应边成比例”“对应角相等”这两个条件必须同时成立时,才能说明这两个多边形是相似多边形.

(6)相似多边形的性质可以用来确定两个多边形中未知的边的长度或未知的角的度数.

(7)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.

(8)相似比为1∶1的两个相似多边形是全等多边形.

1.成比例线段:对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段成比例.

2.相似多边形的定义:.两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

3.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

1.关于相似多边形的下列叙述正确的是

(

)

A.对应边相等的多边形叫做相似多边形

B.多边形的边数不同时也可以相似

C.对应角、对应边都相等的多边形叫做相似多边形

D.对应角相等、对应边成比例的多边形叫做相似多边形

解析:两个边数相同的多边形,满足对应边成比例、对应角相等的多边形叫做相似多边形,两个条件缺一不可,所以A,C错误,D正确;边数不相等的多边形一定不相似,所以B错误.故选D.

2.一个五边形的各边长分别为1,2,3,4,5,另一个和它相似的五边形的最长边的长为7,则后一个五边形的周长为

(

)

A.27

B.25

C.21

D.18

第2课时

1.成比例线段概念

2.认识相似多边形

定义

性质

表示

3.例题讲解

例1

例2

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列各组中的四条线段成比例的是

(

) A.a=,b=3,c=2,d=

B.a=4,b=6,c=5,d=10

C.a=2,b=,c=2,d=

D.a=2,b=3,c=4,d=1 2.下列说法中正确的是

(

) A.两个平行四边形一定相似

B.两个菱形一定相似

C.两个矩形一定相似

D.两个等腰直角三角形一定相似

3.若四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',且AB∶A'B'=1∶2,已知BC=8,则B'C'的长为

(

) A.4

B.16

C.24

D.64 4.如图所示的两个四边形相似,则α的度数是

(

)

A.87°

B.60°

C.75°

D.120°

5.如图所示,有三个矩形,其中是相似图形的是

(

)

A.甲和乙

B.甲和丙

C.乙和丙

D.甲、乙和丙

6.如果a,b,x,y四条线段成比例,那么可写成比例式

,用乘法的形式表示为

.

7.已知=,则=

.

8.在比例尺为1∶40000的工程示意图上,南京地铁一号线的长度约为54.3 cm,它的实际长度约为

km.

9.下列说法中,正确的是

(填序号).

①对应角相等的两个多边形相似; ②对应边成比例的两个多边形相似; ③若两个多边形不相似,则对应角不相等;

④若两个多边形不相似,则对应边不成比例; ⑤边长分别为3,5的正方形是相似多边形; ⑥全等多边形一定是相似多边形.

10.如图所示,把矩形ABCD对折,折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似,已知AB=4.

(1)求AD的长; (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.

【能力提升】

11.如果x∶y∶z=1∶3∶5,那么=

.

12.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=12 cm,BC=27 cm,E,F分别在两腰AB,CD上,且EF∥AD,梯形AEFD∽梯形EBCF,则EF的长为

.

13.如图所示,依次连接正方形ABCD各边中点E,F,G,H所形成的四边形与原正方形相似吗?若相似,求出相似比.