有理数的加法运算律课堂实录【2】

第二章

一元二次方程

1．认识一元二次方程（一） 育红中学

李清芳

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在七年级已学过一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程；在八年级已学过二元一次方程组的概念，经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程；

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析

教科书基于学生对方程认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

三、教学目标

1、会识别一元二次方程及二次项、一次项、常数项还有各项的系数；

2、会列简单的一元二次方程，解决实际问题

四、教学重点难点：

重点：会识别一元二次方程及二次项、一次项、常数项还有各项的系数；

难点：会列简单的一元二次方程，解决实际问题；

五、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：第一环节：预习案效果检测；第二环节：合作交流，自主探究（问题一、问题二、问题三）；第三环节：总结归纳；第四环节：课堂检测；第五环节：反思；第六环节：布置作业。

第一环节：展示个性明确预习案

针对错误明显的逐个分析、纠错。

第二环节：合作交流，自主探究：

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问题一

活动内容： 出示问题一：我们学校舞蹈室的矩形地面长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？

活动目的：

要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。

教学要求与效果：

教学中，为了帮助学生理解题意，可以首先提出问题：你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？接着要求学生从这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图。

教学中教师可以引导学生找出相应的图形之间的面积关系，列出相应的方程。从实际效果来看，学生提出的问题多样有：（1）花边的宽，（2）中央长方形的长、宽等；学生列方程问题不大，所列方程也多样，依据的等量关系不同，得到的方程也不同；并且整理此方程，要求使方程左边为0的形式。

问题二

活动内容：

在学生的疑问处提出问题：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？

得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？

根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和（探讨五个数之间存在的数量关系）。

活动目的：

学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。

教学要求与效果：

找到等式10+11+12=13+14之后的猜想不同。再找五个连续整数，使前三个22222

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数的平方和等于后两个数的平方和，部分学生有困难，寻找的方式也有不同。有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决。

首先，“我”巡视那些无从下手的学生，问：需要我的帮助吗？然后给予必要的指导。

然后巡视那些已经解决问题的同学，给予适当的鼓励。关注学生在探索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、指导。

从实际效果来看，学生的学习积极性很高，课上到这儿达到一个小高潮。

问题三

活动内容：

如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？

活动目的：

通过前两个环节的学习，学生以代表来回答，激发他们的学习积极性，让其他学生判断代表回答问题的合理性。

活动的实际效果：

先让学生合作交流，理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出水面。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm，从而列出方程，问题解决得很顺畅。

第三环节：总结归纳

活动内容：

归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

活动目的：

关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解。

活动的实际效果：学生基本能识别一元二次方程及各个部分。

第四环节：课堂检测；

活动内容：

1、把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

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2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．

活动目的：

及时巩固一元二次方程的有关概念，巩固学生通过实际问题列出相应方程。

活动的实际效果：

问题（1）中学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时，部分学生可能容易忽视符号，作为第一次学习，这是难免的。当然，教学中也可以在第4环节中设计一种反向的问题，如给出各项系数；

问题（2），实际问题，可能有部分学生不能理解题意，部分学生不能很快列出相应的方程，教师要鼓励学生自己找到等量关系，然后将直角三角形的各边表示出来。

最后让学生归纳观察我们得到的方程形式：ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c都是常数），然后归纳一元二次方程的概念及各部分名称

注意点说明：

1、各项都是整式；

2、判别各部分名称时必须将方程化为一般式；

3、解决实际问题时认真分析个数量间的关系。

第五环节：反思

活动内容：

让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？

活动目的：

让学生学会自己梳理知识要点，提高归纳总结的能力。

活动的实际效果：

绝大多数学生能自己归纳出本节的知识要点，也清楚自己的困惑和存在的问题。

第六环节：布置作业

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作业：正式P33习题2、1 家作：分A组 B组（A组题目针对基础比较好的学生、 B组针对基础较差的学生），目的使得各类学生都有成就感，激发全体学生的学习兴趣。

六、教学反思

我们学校地处城乡结合部，生源成分较复杂，大部分学生基础不是很好，针对学生的基础如此设计，但是时间还是很紧，还有部分学生没有理解本节课的知识。

课后进行个别辅导，加强课前的预习工作，对以前学过的相关内容反复抓，抓反复，比如课前复习整式的乘法、完全平方公式，熟知10-20的平方；对一元二次方程的概念及其各部分的名称后，举例、反复练习，以加强对概念的理解及其对各部分名称的认识。

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