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将军饮马-平移问题1：如图所示A、B是两村庄，l是一条河流，试在直线l上找一点P、Q（P在Q的左侧，且PQ为定长）两点使得AP＋BQ距离最小. BAPQlPQ师生活动我们可以引用小学学过的将军饮马问题来解决如图所示A、B是两村庄，l是一条河流，试在直线l上找一点P使得AP＋BP距离最小. BAl

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所属课文：复习题

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2025-12-27 14:17:36

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学校：成都市铁中府河学校

复习题优质课教案推荐

未知

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关键词：复习题优质课教案推荐

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将军饮马-平移

问题1：如图所示A、B是两村庄，l是一条河流，试在直线l上找一点P、Q（P在Q的左侧，且PQ为定长）两点使得AP＋BQ距离最小. BAPQlPQ

师生活动

我们可以引用小学学过的将军饮马问题来解决

如图所示A、B是两村庄，l是一条河流，试在直线l上找一点P使得AP＋BP距离最小. BAl 解决方法：只需作B点关于直线l关于的对称点B'，连接AB'交直线l于点P

原理：

∵对称

∴BPB'P

∴APBPAPB'P

当A、P、B'共线时，利用两点之间线段最短得到P点位置

BAPlB'

思考：此时在直线l上只有一个动点，而题上直线l有两个动点，我们又应该怎么办？

我们能否把两个动点转化为一个动点，这就是此题的关键所在

赏析：把两条线段和最小问题转化为了两点之间线段最短问题，使得问题迎刃而解

BAPQlB''B'PQ

解决方法：只需作B点关于直线l关于的对称点B'，再将B'向左平移PQ长，连接AB''交直线l于点P，再将P向右平移PQ长得到Q点

原理：

∵对称

∴BPB'P

∵平移，连接AB''

∴四边形PQB'B''是平行四边形

∴APBQAPB'QAPB''P

当A、P、B''共线时，利用两点之间线段最短得到P点位置，将P向右移动PQ长，得到Q的位置

赏析：利用到了数学转化的思想

总结：解决将军饮马问题关键：1、找出定点，与动点；

2、找出对称轴（所谓“河”）；

3、利用对称性，和两点之间线段最短来解决剩下问

2.问题深究，感悟数学思想美

问题2:

如图1，已知直线a//b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AMMNNB的长度和最短，则此时AMNB

．

Aab图1B

AMPaCNOQbB图2

如图2根据题意得：AB230，AP2，BQ3，,MN4，OB39

将直线b向上平移4个单位，与直线a重合，如图3所示M、N两点重合，

如图4当A、M、B共线时，AM＋＋MN＋BN最小，此时AO5,OB39,AMBN8，∴AMMNBN12

AM(N)P(C)QAM(N)Qa(b)P(C)a(b)OBOB图3图4

赏析：

我们再次利用平移，将图中的两条对称轴（河流）河流转化为了一条对称轴（河流），从而使得问题又回到了简单的将军饮马问题，从而迎刃而解，再次利用数学转化思想，将复杂问题简单化

3.应用拓展，创造数学美

问题3: 如图3-1，已知直线a//b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AMMNNB的长度和最短，则此时AMNB

MAaNBb图3-1

问题4：如图4-1，已知直线a//b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AMMNNB的长度和最短，则此时AMNB

MABNab图4-1

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