测试名师教学设计1

【教学标题】反比例函数

【教学目标】

1、

提高学生对反比例函数的学习兴趣

2、

使学生掌握反比例函数基础知识

3、让学生熟练地运用反比例知识

【重点难点】图像及性质

【教学内容】反比例函数

一、基础知识

1.

定义：一般地，形如y还可以写成ykx1

2.

反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1. ⑵比例系数k0

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3.

反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

①

列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

②

描点（有小到大的顺序）

③

连线（从左到右光滑的曲线）

k⑵反比例函数的图像是双曲线，y（k为常数，k0）中自变量x0，函x数值y0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是yx或y。

x）⑷反比例函数ykk（k为常数，ko）的函数称为反比例函数。yxxkk（k0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线y

xx1

（k0）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。

4．反比例函数性质如下表：

k的取值

图像所在象限

ko

ko

函数的增减性

在每个象限内，y值随x的增大而减小

在每个象限内，y值随x的增大而增大

一、三象限

二、四象限

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,k但是反比例函数y中的两个变量必成反比例关系。

x7. 反比例函数的应用

二、例题

2kk2【例1】如果函数ykx的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值2是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数yk，（k0）即ykx1x（k0）又在第二，四象限内，则k0可以求出的值

【答案】由反比例函数的定义，得：

12k2k21k1或k解得2

k0k0

k112k2k2时函数ykx为y

k1x

1【例2】在反比例函数y的图像上有三点x1，y1，x2，y2，x3，y3

。x若x则下列各式正确的是（ ）

x0x123yyyyyyyyA．y312 B．y321 C．y123 D．y132 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：由题意得y1111，y2，y3

x1x2x3xx0xyyy，所以选A 123312解法二：用图像法，在直角坐标系中作出y

2 1的图像

x

描出三个点，满足x观察图像直接得到yx0xyy123312选A 解法三：用特殊值法

1

xx0x,令x2,x1,x1yy1,y1,yyy1231231,233122

3nm【例3】如果一次函数y相交于点mxnm0与反比例函数y的图像x1（，2），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）

2【解析】

1m23nm1mn2直线ymxn与双曲线yx相交于，2，解得

2n1x23nm1y2x11直线为y2x1,双曲线为y解方程组y1xxx1得1

y111x22y22

另一个点为1，1【例4】

如图，在Rt中，点A是直线y与双曲线yAOBxm的交点，且SAOB2，则m的值是_____. m在第一象限x图

解:因为直线y与双曲线yxmm过点A,设A点的坐标为xA,yA. xmxm,y 则有y.所以mxAyA. AAAxAxx,AByy 又点A在第一象限,所以OB. AAAA

3

111 所以S.而已知SAOB2. OBABxymAOBAA222 所以m4.

【过手练习】

2的图像位于（ ）

xA．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限

1.反比例函数y2.若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（ ）

A、正比例函数

B、反比例函数

C、一次函数

D、不能确定

3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为（ ）

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，

气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）

5544A、不小于m3

B、小于m3 C、不小于m3

D、小于m3 44551y5．如图

，A、C是函数y的图象上的任意两点，过A作x

xy o x y o x y o x y o x A B C D

轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB的面积为S1，RtΔCOD的面积为S2则

（ ）

A．

S1

＞S2 B． S1

4 Ox

7. 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝kx的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（12，m）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

AOCB

38．

某蓄水池的排水管每小时排水8m，6小时可将满池水全部排空．

（1）蓄水池的容积是多少？

（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？

（3）写出t与Q的关系式．

（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件. （1）请写出y关于x的函数关系式；

（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？

5

10．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；

(2)求△AOB的面积。

mx【拓展训练】

k（k0）中比例系数k的绝对值k的几何意义。

x如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，

☆反比例函数yxyxyPFPES则k

矩形OEPFkk（k0）中，k越大，双曲线y越远离坐标原点；k越xxk小，双曲线y越靠近坐标原点。

x☆

双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。

☆

反比例函数y【课后作业】

1．对与反比例函数y2，下列说法不正确的是（ ）

xA．点（2,1）在它的图像上 B．它的图像在第一、三象限

C．当x0时，y

随x的增大D．当x0时，y

随x的增大

6

2.已知反比例函数y经过（

）

k，则这个函数的图象一定k0的图象经过点（1，-2）xA、（2，1） B、（2，-1） C、（2，4） D、（-1，-2）

3．在同一直角坐标平面内，如果直线yk1x与双曲线y和k2的关系一定是（ ）

A. k1+k2=0

B. k1·k2<0

C. k1·k2>0 D.k1=k2

k2没有交点，那么k1x

4. 反比例函数y＝kx的图象过点P（－1.5，2），则k＝________．

5. 点P（2m－3，1）在反比例函数y＝1x的图象上，则m＝__________．

6. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________．

12m7. 已知反比例函数y的图象上两点A，当xx,y,Bx,y0x112212时，x有y1y2，则m的取值范围是？

8.已知y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，求：

(1)求y和x之间的函数关系式； (2)(2)当x=8时，求y的值；

(3)y＝-2时，x的值。

9.

已知b3,且反比例函数y1b的图象在每个象限内，y随x的增大而增大,x1b如果点a,3在双曲线上y，求a是多少？

x7

反比例函数综合测试题

一、选择题(每小题3分，共24分) 1.已知点M (- 2，3 )在反比例函数yA. (3，- 2)

B. (- 2，- 3)

k的图象上，下列各点也在该函数图象上的是(

).A xC. (2，3) D. (3，2) 2. 反比例函数yA. 第一、三象限

k(k0)的图象经过点(- 4，5)，则该反比例函数的图象位于(

).B xB. 第二、四象限

C. 第二、三象限

D. 第一、二象限

2与y2x的图象的交点个数为(

). D x3. 在同一平面直角坐标系中，函数yA. 3个

B. 2个

C. 1个

D. 0个

4. 如图1，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y =

2 x(x

> 0)图象上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐减小时，△OAB的面积将(

). A A．逐渐增大

B．逐渐减小

C．不变

D．先增大后减小

O y 12 A B x 图1 y x 12 图2 5. (2009年恩施市)如图2，一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2 ≤

x

≤ 10，则y与x的函数图象是(

). A

5 O 5 2 2 10 x O 2 10 x O 2 10 x O 2 10 x A

B

C

D 2 y y 10 y 10 y 6. 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数yA. y1 < 0 < y2

k(k > 0)的图象上的两点，若x1 < 0 < x2，则(

).A x

B. y2 < 0 < y1

C. y1 <

y2 < 0

D. y2 < y1 < 0

7. 如图3，反比例函数y的面积是(

).C A. 2

B. 3

3的图象与一次函数y = x + 2的图象交于A，B两点，那么△AOBxy

C. 4

D. 6 C A O 1 图4 B x 8. 如图4，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB

= AC = 2，直角顶点A在直线y = x上，

8

其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、y轴，若反比例函数y的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是(

). C A.1 < k < 2

B.1 ≤

k ≤ 3

C.1 ≤

k ≤ 4

D.1≤

k < 4 kx二、填空题(每小题4分，共24分) 9. 已知反比例函数yk6的图象经过点(2，3)，则此函数的关系式是

．y

xxF / N 10. 在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在

力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图

象如图5所示，点P(5，1)在图象上，则当力达到10 N 时，物体在力的方向上移动的距离是

m. 0. 5 k11. 反比例函数y(k0)的图象与经过原点的直线

x12.一次函数y = x + 1与反比例函数yO

图5 s / m

l相交于A，B两点，若点A坐标为(-2，1)，则点B的坐标为

. (2，-1). k的图象都经过点(1，m)，则使这两个函数值都小x于0时x的取值范围是___________. x < - 1 13. (2009年兰州市)如图6，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数

反比例函数y

图6 O 51511(x > 0)的图象上，则点E的坐标是_________. (，) 22xy P1 P2 P3 P4 P5 A1 A2 A3 A4 A5 x 图7 14. (2009年莆田市)如图7，在x轴的正半轴上依次截取OA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5，分别作x轴的垂线与反比例函数y2x0的图象相交于点P1，xP2，P3，P4，P5，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，则S5的值为

.

三、解答题(共30分)

15.(6分) 已知点P(2，2)在反比例函数y（1）当x = - 3时，求y的值；

（2）当1 < x < 3时，求y的取值范围．

k(k

≠ 0)的图象上. x

9

16.(8分)已知图8中的曲线是反比例函数ym5(m为常数)图象的一支. 若该函数的图象x与正比例函数y = 2x的图象在第一象内限的交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式.

17.(8分)如图9，点P的坐标为2，，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交反比例函数y32kk(x > 0)于点点N，作PM ⊥

AN交反比例函数y(x > 0)的图象于点M，连接AM. xxy M A O 图9 N P x 若PN = 4，求：

（1）k的值.

（2）△APM的面积.

18.(8分)为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”. 已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与燃烧时间x(min)成正比例；燃烧后，y与x成反比例(如图10所示). 现测得药物10 min燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg. 根据以上信息，解答下列问题：

（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式；

（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式；

（3）当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体无毒害作用. 那么从消毒开始，经多长时间学生才可以返回教室？

10

四、探究题(共22分) 19.(10分) 我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如，把方程2x –

1 = 3 - x的解看成函数y = 2 x

- 1的图象与函数y = 3 - x的图象交点的横坐标. 如图11，已画出反比例函数y1在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象x求方程x2

–

x

–

1 = 0的正数解(要求画出相应函数的图象，求出的解精确到0.1）.

20.(12分)一次函数y = ax + b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数yk的x图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为点C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为点F，D，AC与BC相交于点K，连接CD．

（1）如图12，若点A，B在反比例函数yk的图象的同一分支上，试证明：

xS①S；②A．

NBM四边形AEDK四边形CFBK，B分别在反比例函数y（2）若点A相等吗？试证明你的结论．

k的图象的不同分支上，如图13，则AN与BM还x

11

反比例函数综合测试题参考答案

一、选择题

1. A.

2. B.

二、填空题

9. y3. D.

4. A.

5. A.

6. A.

7. C.

8. C. 6. x

10. 0. 5.

11. (2，-1).

12. x < - 1.

三、解答题

15.（1）y

13. (5151，). 22

14.1. 544；（2）y的取值范围为y4．

3316.∵第一象限内的点A在正比例函数y = 2x的图象上，

∴设点A的坐标为(m，2m)(m > 0)，则点B的坐标为(m，0). ∵S△OAB = 4，∴1m

•

2m = 4. 2解得m1 = 2，m2 = - 2(不符合题意，舍去).∴点A的坐标为(2，4). m5m5的图象上，∴4，即m

–

5 = 8. x28∴反比例函数的解析式为y. x又∵点A在反比例函数y17.（1）∵点P的坐标为2，，∴AP = 2，OA = 323.

232∵PN = 4，∴AN = 6. ∴点N的坐标为6，. 把点N6，代入y32k中，得k = 9.

x99. 当x = 2时，y.

x2931∴M. P3. ∴S233△APM222（2）由（1）知k = 9，∴y18.（1）设药物燃烧阶段函数关系式为y = k1x(k1

≠ 0). 44. ∴此阶段函数关系式为yx(0 ≤

x < 10).

55k（2）设药物燃烧结束后函数关系式为y2(k20). x80k根据题意，得82，k280. ∴此阶段函数关系式为y(x ≥ 10).

x1080（3）当y < 1.6时，，x5.6x800.

1.6.

∵x0，∴1x根据题意，得8 = 10k1，k1 = ∴从消毒开始经过50 min学生才返可回教室.

四、探究题

19. 方程x2

–

x

–

1 = 0的正数解约为1.6.

12

提示：∵x

≠ 0，将x2

–

x

–

1 = 0两边同除以x，得x1把x2

–

x

–

1 = 0的正根视为由函数y标．

20.（1）①110．即x1．

xx1与函数y = x

- 1的图象在第一象限交点的横坐x轴，AAC⊥xEOC为矩形．

E⊥y轴，四边形ABF⊥x轴，BDOF为矩形．

D⊥y轴，四边形B轴，B均为矩形．

AC⊥xEDK，DOCK，CFBKD⊥y轴，四边形A，S

OCACxykOCx，ACy，xyk111111矩形AEOC，S．S．

OFFBxykOFx，FBy，xykS222222矩形BDOF矩形AEOC矩形BDOF，矩，S．

SSSSSS矩形AEDK矩形AEOC矩形DOCKS形CFBK矩形BDOF矩形DOCK矩形AEDK矩形CFBK②由（1）知，S．A．SKDKBKCK矩形AEDK矩形CFBKAKBK．

CKDK，△．．A．

AKBCKD90°AKB∽△CKDCDKABKB∥CD．

CDN是平行四边形．ANCDAC∥y轴，四边形A同理可得B．．

MCDANBM（2）AN与BM仍然相等．

SSSSS，S，

矩形AEDK矩形AEOC矩形ODKC矩形BKCF矩形BDOF矩形ODKC又SSkS，S．

矩形AEOC矩形BDOF矩形AEDK矩形BKCFCKDK．

AKBK，△．．A．

CDK∽△ABKCDKABKB∥CDKK．

NDC是平行四边形．ANCDAC∥y轴，四边形A．AKDKBKCK同理B．AMCDNBM

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