3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1-2》（人教版）第三章复数代数形式的乘除运算．复数运算是高中数学重要内容之一，是在实数多项式运算基础上进行扩充学习的关于一个数的平方等于-1的运算，是对数的知识进一步深入和拓广。

教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di , a=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

教学过程：

复习引入：

1、形如：Z=a+bi(a, b∈R)

的数叫做复数。

1

实数(b0)复数

zabi为纯虚数(a0,b0)虚数(b0)(a0,b0)非纯虚数

2、复数相等

ac若a,b,c,d

，a+bi=c+di bd注：a

bi0ab03.复数

与

的和、差的定义：

+

=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i，

-

=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i. 4. 复数的加法运算满足交换律、结合律：

+

=

+

.

（

+

）+

=

+（

+

）

讲解新课：

１、复数的乘法运算：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设

=a+bi，

=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把

换成－1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

2.乘法运算律：

（1）

=

（2）

（

）=（

）

证明：设

=

+

i，

=

+

i，

=

+

i（

，

，

，

，2

，

∈R）。

∵

=（

+

i）（

+

i）=（

-

）+（

+

）i，

=（

+

i）（

+

i）=（

-

）+（

+

）i.

又

-

=

-

，

+

=

+

.

∴

=

.

（3）

（

+

）=

+

证明：设

=

+

i，

=

+

i，

=

+

i（

，

，

，

，

，

∈R）。

∵（

）

=［（

+

i）（

+

i）］（

+

i）=［（

-

）+（

+

）i］（

+

i）

=［（

-

）

-（

+

）

］+［（

+

）

+（

-

）

］i=（

-

-

-

）+（

+

+

b3-

）i，

同理可证：

（

）=（

-

-

-

）+（

+

+

-

）i，

∴（

）

=

（

）。

例2：计算（1-2i）（3+4i）（-2+i）

解：（1-2i）（3+4i）（-2+i）＝（11-2i）

（-2+i）= -20+15i.

练习：

（1）（1+4i）（1-4i）

；（2）（1-4）（7-2）（1+4）；（3）（

）.

解：（1）（3+4i）

（3-4i） =

-（ ）=9-（-16）=25; 3

（3）

（

）=9+12 i+（ ）=1+2 i-1=5+12 i.

3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数的共轭复数为a+bi和a-bi。

练习：说出下列复数的共轭复数：

32i,43i,5i,52i,7,2i。

4. 复数除法定义：满足（c+di）（x+yi）=（a+bi）的复数x+yi（x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：

5.除法运算规则：

①设复数a+bi（a，b∈R）除以c+di（c，d∈R），其商为x+yi（x，y∈R），

即（a+bi）÷（c+di）=x+yi ∵（a+bi）÷（c+di）=

或者

+

②（c+di）（c－di）=

=

+

.

点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积是有理数，而（c+di）·（c－di）=

+

是正实数。所以可以分母实数化。

把这种方法叫做分母实数化法

例3:计算 (1+2i) ÷(3-4i) 4

解：(1+2i) ÷(3-4i)=巩固练习：

==

= =

1、已知

,

求

，

，

,

2、课本124页练习1、2、3

本节小结：

（1）复数乘法法则：（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i

（2）共轭复数：复数= a+bi的共轭复数为a-bi

（3）复数除法法则：（a+bi）÷（c+di）=

+

课后作业：课本第115页 习题3. 2 A组4，5，6

教学反思：

复数的乘法法则是：（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式。

复数的除法法则是：（a+bi）÷（c+di）=（c+di≠0）。

两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简

+

5