小结教学设计(第二课时)

3.4 基本不等式

教学目标：

1、知识与能力目标：熟练掌握基本不等式及变形的应用和应用基本不等式求最值；

2、过程与方法目标：

体会基本不等式的应用条件：“一正，二定，三相等”；体会利用基本不等式求解最值问题的解题策略的构建过程。

3.情感态度与价值观目标：

通过解题后的总结反思，培养学生养成好的学习习惯。

教学重难点：

重点：基本不等式在解决最值问题中的应用

难点：基本不等式在解决最值问题中的变形应用、定值的构造及利用，和“相等等”条件的取得。

◆知识点梳理◆

1．

用基本不等式求最值的结论

s2(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值为. 4(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值为2p. 2．

基本不等式求最值的条件

(1)x，y必须是正数；

(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．

(3)等号成立的条件是否满足. b3．函数f(x)ax(a、b0)图象及性质

xb(1)函数f(x)axa、b0图象如图：

xb(2)函数f(x)axa、b0性质：

x①值域：(,2ab][2ab,)；

②单调递增区间：(,yb2abao2abxbabb]，[,)；单调递减区间：(0,aabb,0). ]，[aa◆考点剖析◆

考点一

基本不等式与最值

4例1

(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；

x1

3(2)设0

24(3)已知x>2，求x＋的最小值；

x－219(4)已知x>0，y>0，且

＋＝1，求x＋y的最小值．

xy4解

(1)当x>0时，x＋≥2 x4x·＝4，

x4当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．

x4∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4. x3(2)∵00，

2∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋3－2x292＝2. 3当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

433390，.∴函数y＝4x(3－2x)(02，∴x－2>0，

44∴x＋＝x－2＋＋2≥2 x－2x－24x－2·＋2＝6，

x－24当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．

x－24所以x＋的最小值为6. x－21919y9x＋(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，

(4)方法一

∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝xyxyxyy9x19当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．

xyxy故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 19方法二

由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．可知x>1，y>9，

xy∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2x－1y－9＋10＝16，

当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，

故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 小结：在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．

2

12跟踪训练1

(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；

x(2)已知x<3，求f(x)＝4＋x的最大值；

x－3(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

12解

(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2 x∴f(x)的最小值为12. (2)∵x<3，∴x－3<0. 444∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3＝－3－x＋3－x＋3≤－2 x－3x－34当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．∴f(x)的最大值为－1. 3－x(3)方法一

由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝∴x＋y＝x＋2x，

x－8x－8×16＋10＝18. x－84·3－x＋3＝－1，

3－x1212·3x＝12，当且仅当3x＝，即x＝2时取等号．

xx2x－16＋162x16＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2 x－8x－8x－816当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．

x－8∴x＋y的最小值是18. 82方法二

由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1. xy828y2x∴x＋y＝(x＋y)x＋y＝x＋y＋10≥2 8y2x·＋10＝18. xy8y2x当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立．

xy∴x＋y的最小值是18. 考点二

基本不等式在实际问题中的应用

例2

(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解

(1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，

则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m. 由x＋y≥xy，可得x＋y≥2100，2(x＋y)≥40. 2等号当且仅当x＝y时成立，此时x＝y＝10. 3

因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m；

(2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2. x＋y18由xy≤＝＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立．

22因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2. 小结：利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．

跟踪训练2

某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

解

设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．

由题意可知，面粉的保管等其他费用为

3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．

设平均每天所支付的总费用为y1元，

1则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800 x900＝9x＋＋10 809 x≥2 9009x·＋10 809＝10 989(元)，

x900当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立．

x∴该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

方法总结：

1．

用基本不等式求最值

(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．

(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．

(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以p运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最x值．

2．

求解应用题的方法与步骤：

(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答. 4

课堂小测、夯实基础：

一、基础过关

1．

已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，则lg xlg y的最大值是 A．4

答案

A 解析

∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，lg xlg y≤即x＝y＝100时取等号．

2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为

A．22

答案

B 解析

∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3. ∴2x＋4y≥22x·4y＝22x＋2y

(

) B．2

C．1

1D.

4lg x＋lg y22＝4，当且仅当lg x＝lg y＝2，

(

)

B．42

C．16

D．不存在

＝42. 33当且仅当2x＝4y，即x＝，y＝时，等号成立．

2413．函数y＝log2x＋x－1＋5

(x>1)的最小值为



(

) A．－3

答案

B

B．3

C．4

D．－4 11解析

∵x＋＋5＝(x－1)＋＋6 x－1x－1≥2 1x－1·＋6＝8. x－11∴log2x＋x－1＋5≥3，

∴ymin＝3. 1当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．

x－1144．

已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是

ab7A.

2答案

C a＋b解析

∵a＋b＝2，∴＝1. 2

B．4

9C.

2

(

) D．5 5

1414a＋b52ab5∴＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2 abab22b2a2149故y＝＋的最小值为. ab22ab92ab·＝(当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立)，b2a2b2a5．

周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______．

1答案

4解析

设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则2＋1＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab，解得1211ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为. 22446．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

答案

20 解析

总运费与总存储费用之和

4001 600f(x)＝4x＋×4＝4x＋≥2 xx1 6004x·＝160，

x1 600当且仅当4x＝，即x＝20吨时，f(x)最小．

x7．

设0

解

∵02>0，

3x＋8－3x8∴y＝3x8－3x≤＝＝4，

224当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号．

34∴当x＝时，y＝3x8－3x有最大值4. 38．

某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)? 0.2x2＋0.2x10＋0.9x＋2解

设使用x年的年平均费用为y万元．由已知，得y＝，

x10x即y＝1＋＋(x∈N*)．

x10由基本不等式知y≥1＋2 算，年平均费用为3万元．

10x10x·＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合x10x106