2.1.2 演绎推理教案范文

2.1.2

演绎推理

[学习目标]

1.了解演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并能进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.

知识点一

演绎推理及其一般模式——“三段论”

1.演绎推理

含义

特点

2.三段论

大前提

小前提

结论

思考

(1)演绎推理的结论一定正确吗？

(2)如何分清大前提、小前提和结论？

答案

(1)演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确. (2)在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义. 知识点二

演绎推理与合情推理的区别与联系

合理推理

根据已有的事实和正确的结论(包括实定义

区别

思维方法

验和实践的结果)，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程

归纳、类比

演绎推理

根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程

三段论

由一般到特殊的推理

一般模式

已知的一般原理

所研究的特殊情况

根据一般原理，对特殊情况做出的判断

常用格式

M是P

S是M

S是P

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理

由一般到特殊的推理

推理形式

由部分到整体、由个别到一般的推理或

由特殊到特殊的推理

结论

结论不一定正确，有待于进一步证明

具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，利于创新意识的培养

在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确

按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高逻辑证明的能力

作用

联系

合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明

题型一

用三段论的形式表示演绎推理

例1

把下列演绎推理写成三段论的形式. (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；

(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；

(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数. 解

(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提

在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提

水会沸腾.结论

(2)一切奇数都不能被2整除，大前提

2100＋1是奇数，小前提

2100＋1不能被2整除.结论

(3)三角函数都是周期函数，大前提

y＝tan α是三角函数，小前提

y＝tan α是周期函数.结论

反思与感悟

三段论由大前提、小前提和结论组成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的. 跟踪训练1

将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)0.332是有理数；

(2)y＝cos x(x∈R)是周期函数；

(3)Rt△ABC的内角和为180°. 解

(1)有限小数是有理数(大前提)，0.332是有限小数(小前提)，0.332是有理数(结论). (2)三角函数是周期函数(大前提)，函数y＝cos x(x∈R)是三角函数(小前提)，函数y＝cos

x(x∈R)是周期函数(结论). (3)三角形内角和是180°(大前提)，Rt△ABC是三角形(小前提)，Rt△ABC的内角和为180°(结论). 题型二

演绎推理在证明数学问题中的应用

例2

在锐角三角形中，求证sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C. π证明

∵在锐角三角形中，A＋B＞，

2πππ∴A＞－B，∴0＜－B＜A＜. 222π0，内，正弦函数是单调递增函数，

又∵在2π－B＝cos B，

∴sin A＞sin2即sin A＞cos B，①

同理sin B＞cos C，②

sin C＞cos A.③

以上①②③两端分别相加，有：

sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C. 反思与感悟

(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略. (2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提. 111跟踪训练2

(1)设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证＋＋≥8. abab2x－1(2)求证：函数f(x)＝x是定义域上的增函数. 2＋1证明

(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

∴1＝a＋b≥2ab，

1即ab≤，

21∴≥4，

ab111111∴＋＋＝(a＋b)a＋b＋ab

abab≥2ab·211＋≥4＋4＝8. abab1当且仅当a＝b＝时等号成立，

2

111∴＋＋≥8. abab(2)函数定义域为R. 任取x1，x2∈R且x1＜x2. 22

则f(x1)－f(x2)1x1x12212112x12x21. 2x2x12xx1221212121∵x1＜x2，

21＜22,2122＜0，

∴f(x1)－f(x2)＜0. ∴f(x1)＜f(x2).故f(x)为R上的增函数. 题型三

合情推理、演绎推理的综合应用

例3

如图所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影. xxxx

(1)求证：O为△BCD的垂心；

(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明. (1)证明

∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，

∴AD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC. ∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，

∵AD∩AO＝A，

∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，

∴O为△BCD的垂心. 222

(2)解

猜想：S2△ABC＋S△ACD＋S△ABD＝S△BCD. 证明如下：连接DO并延长交BC于E，连接AE，

由(1)知AD⊥平面ABC，

AE⊂平面ABC，

∴AD⊥AE，又AO⊥ED，

∴AE2＝EO·ED，

111BC·BC·AE2＝BC·EO·ED，

∴222即S2S△BCD. △ABC＝S△BOC·同理可证：S2S△BCD，

△ACD＝S△COD·S2S△BCD. △ABD＝S△BOD·222∴S2(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S△△ABC＋S△ACD＋S△ABD＝S△BCD·BCD. 反思与感悟

合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下). n跟踪训练3

已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝a1a2…an(n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论. 解

类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数a1＋a2＋…＋an列bn＝也是等差数列. n证明如下：

nn－1dna1＋2a1＋a2＋…＋and设等差数列{an}的公差为d，则bn＝＝＝a1＋(n－1)，

nn2d所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列. 2

三段论中因忽视大(小)前提致误

a3b3c3例4

已知a，b，c∈R，且a，b，c不全相等，试比较＋＋与a＋b＋c的大小. bccaab＋a＋b≥2ab，4422＋错解

因为a，b，c∈R，依基本不等式有b＋c≥2bc，c4＋a4≥2c2a2.由三式相加得a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.①

又a2b2＋b2c2≥2a2b4c2＝2ab2c，

同理b2c2＋c2a2≥2abc2，

c2a2＋a2b2≥2a2bc，

4422

三式相加得a2b2＋b2c2＋c2a2≥a2bc＋ab2c＋abc2.②

由①②得a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2，又a，b，c∈R，

＋a3b3c3所以＋＋≥a＋b＋c. bccaab错因分析

以上过程忽视了小前提“a，b，c不全相等”，因此①②两式中均为“＞”.

正解

∵a，b，c∈R，有

a＋b≥2ab，44b＋c≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2.4422＋

又a，b，c不全相等，故三式相加，得

a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.③

又a2b2＋b2c2≥2ab2c，

b2c2＋c2a2≥2abc2，

c2a2＋a2b2≥2a2bc，

且a，b，c不全相等，三式相加得

a2b2＋b2c2＋c2a2＞a2bc＋ab2c＋abc2，④

由③④得a4＋b4＋c4＞a2bc＋ab2c＋abc2，

∵a，b，c∈R，

a3b3c3∴＋＋＞a＋b＋c. bccaab防范措施

利用三段论推理时，正确使用大(小)前提，尤其注意数学中有关公式、定理、性质、法则的使用情形. ＋

1.下列推理中是演绎推理的是(

) A.全等三角形的对应角相等，如果△ABC≌△A′B′C′，则∠A＝∠A′

B.某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人

C.由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质

11D.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋a(n≥2)，由此猜想出{an}的通项公式

2n－1答案

A 解析

B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理.故选A. 2.指数函数都是增函数，大前提

1x函数y＝e是指数函数，小前提

1x所以函数y＝e是增函数.结论

上述推理错误的原因是(

) A.大前提不正确

B.小前提不正确

C.推理形式不正确

D.大、小前提都不正确

答案

A 解析

大前提错误.因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在a＞1时是增函数，而在0＜a＜1时为减函数.故选A. 3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的周期是________.

答案

8 解析

f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝f(2－2－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝f[4＋(4＋x)]＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x).∴T＝8是它的周期. 318S2n84.设数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3(n∈N*)，则满足＜＜217Sn7的所有n的和为________. 答案

7 解析

由2an＋1＋Sn＝3得2an＋Sn－1＝3(n≥2)，两式相减，得2an＋1－2an＋an＝0，化简得2an＋1an＋113a21＝an(n≥2)，即＝(n≥2)，由已知求出a2＝，

易得＝，所以数列{an}是首项为a1an24a1231n1－21n23112n，代入18＝，公比为q＝的等比数列，所以Sn＝＝31－2，S2n＝31－2221171－21n1S2n81＜＜，可得＜＜，解得n＝3或4，所以所有n的和为7. Sn717271115.设a，b，c为正实数，求证：3＋3＋3＋abc≥23. abc证明

因为a，b，c为正实数，由基本不等式可得

31111111113，

3＋3＋3≥33·3·3，即3＋3＋3≥abcabcabcabc当且仅当a＝b＝c时取等号. 1113所以3＋3＋3＋abc≥＋abc. abcabc而3＋abc≥2abc33·abc＝23，当且仅当＝abc，

abcabc6即a＝b＝c＝3时取等号.

1116所以3＋3＋3＋abc≥23，当且仅当a＝b＝c＝3时取等号. abc

数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的，三段论是由三个判断组成的，其中的两个为前提，另一个为结论.第一个判断是提供性质的一般判断，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定义等，第二个判断是和大前提有联系的特殊判断，叫做小前提，从而产生了第三个判断——结论.在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成，而大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式.

一、选择题

1.下列表述正确的是(

) ①归纳推理是由部分到整体的推理；

②归纳推理是由一般到一般的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理；

④类比推理是由特殊到一般的推理；

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③

B.②③④

C.②④⑤

D.①③⑤

答案

D 解析

根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确. 2.《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是(

) A.类比推理

C.演绎推理

答案

C 解析

这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次复式三段论，属演绎推理形式. 3.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数.以上推理(

) A.结论正确

C.小前提不正确

答案

C B.大前提不正确

D.全不正确

B.归纳推理

D.一次三段论

解析

由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数.故小前提不正确. 4.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于(

) A.演绎推理

C.合情推理

答案

A 解析

“所有金属都能导电”及“铁是金属”均为前提，得出“铁能导电”的结论，满足演绎推理的定义. 5.有一个“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点.因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点.以上推理中(

) A.大前提错误

C.推理形式错误

答案

A 解析

可导函数在某点处的导数为0，不一定能得到函数的极值点，因此大前提错误. 6.已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；

③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α. 其中正确的命题个数是(

) A.1

B.2

C.3

D.4 答案

B 解析

①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确.故选B. 二、填空题

7.如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上的相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是________. B.小前提错误

D.结论正确

B.类比推理

D.归纳推理

答案

341 解析

边长为1,2,3，…，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为

8,2×8,3×8，…，10×8，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，……，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(8＋2×8＋3×8＋…8×9＋10×8)－(3×9＋2×8＋2×7＋2×6＋…＋2×1)＝440－27＋2×＝341，故所求总数2为341. 8.在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是________. 答案

y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞) 解析

由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4. 9.三段论式推理是演绎推理的主要形式，“函数f(x)＝2x＋5的图象是一条直线”这个推理所省略的大前提是________________. 答案

一次函数的图象是一条直线

x2＋110.关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列命题：

|x|①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)为减函数；③f(x)的最小值是lg 2；④当－11时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值. 其中所有正确结论的序号是________. 答案

①③④

解析

显然f(－x)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称. x2＋11当x>0时，f(x)＝lg ＝lg(x＋). xx1设g(x)＝x＋，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

x∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数. f(x)min＝f(1)＝lg 2. ∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数. 三、解答题

11.设m为实数，利用三段论求证方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根. 证明

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若Δ＝b2－4ac＞0，则方程有两个相异实根.(大前提) 方程x2－2mx＋m－1＝0中，Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝(2m－1)2＋3＞0，(小前提) 所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.(结论) 12.证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数，并指出证明过程中运用的“三段论”.

证明

已知函数f(x)，对于任意x1，x2∈D，若x1＜x2，均有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间D上

是增函数.(大前提) 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2，

3332则f(x1)－f(x2)＝(x3(x21＋x1)－(x2＋x2)＝x1－x2＋(x1－x2)＝(x1－x2)·1＋x2＋x1x2＋1) 13. x1＋x22＋x2＋1＝(x1－x2)224∵x1＜x2，∴x1－x2＜0. 13x1＋x22＋x2又∵242＋1＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0, 即f(x1)＜f(x2)，(小前提) ∴函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数.(结论) 13.S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC. 证明

如图，作AE⊥SB于E.

∵平面SAB⊥平面SBC，

平面SAB∩平面SBC＝SB，

AE⊂平面SAB. ∴AE⊥平面SBC. 又BC⊂平面SBC. ∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，

∴SA⊥BC. ∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，

∴BC⊥平面SAB. ∵AB⊂平面SAB，∴AB⊥BC.