1.3 二项式定理（通用）国家优质课一等奖

二项式定理

【考纲解读】

考

点

利用二项式定理求指定项

考纲内容

五年统计

分析预测

1.理解排列、组合的概念，2017课标I,理6 能利用计数原理推导排列2017课标Ⅲ,理4 数公式、组合数公式；

2015课标I,理10 1.高频考向：用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.能用计数原理怎么二项2.能解决简单的实际问题

2013课标Ⅱ,理5 2016课标I,理14 2015课标Ⅱ,理15 2014课标I,理13 2013课标I,理9 2.预测：二项式定理与微积分，复数计算等知识相联系. 二项式系式定理；

数与项的2.会用二项式定理解决与系数

二项展开式有关的简单问题。

【知识清单】

一．二项式定理

1. 二项式定理

abn0n1n1CnaCnabrnrrCnabnnnCnbnN*，这个公式所表示的定理叫做二项式r定理，右边的多项式叫做ab的二项展开式，其中的系数Cn (r0,1,2,3,,n)叫做二项rnrr式系数．式中的Cnab叫做二项展开式的通项，用Tr1表示，即展开式的第r1项；rnrrTr1Cnab. 2．二项展开式形式上的特点

(1)项数为n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 01n1n(4)二项式的系数从Cn，Cn，一直到Cn，Cn.

3. 二项式系数的性质

0n1n1(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn，Cn，CnCn，mnm. CnCnr(2)增减性与最大值：二项式系数Cn，当rn1时，二项式系数是递增的；由对称性知：当2rn1时，二项式系数是递减的．

2n2n当n是偶数时，中间的一项C取得最大值．

当n是奇数时，中间两项C(3)各二项式系数的和

n12n

和Cn12n相等，且同时取得最大值．

abn01的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即CnCnrCnnCn2n，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即024CnCnCn135CnCnCn2n1，

rnrr4.注意:（1）．分清Cnab是第r1项，而不是第r项. rnrrr(2)．在通项公式Tr1Cn、a、b、n、r这六个参数，只有a、b、ab中，含有Tr1、Cnn、r是独立的，在未知n、r的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出n、r,然后代入通项公式求解. (3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出r，再求所需的某项；有时则需先求n,计算时要注意n和r的取值范围以及

它们之间的大小关系. rnrrr(4) 在Tr1Cn就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；而Tr1项的系数是ab中，Cn指化简后字母外的数．

5．二项式的应用

（1）求某些多项式系数的和；

（2）证明一些简单的组合恒等式；

（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；

（4）近似计算.当x充分小时，我们常用下列公式估计近似值：

①1x1nx；②1x1nx（5）证明不等式.

二：例题讲解

三：练习：

四：小节，归纳方法

nnnn12x；

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