1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用评课稿

《1.2独立性检验的基本思想及其初步应用》教案

【学习目标】

1、知识与技能

通过本节知识的学习，了解独立性检验的基本思想和初步应用，能对两个分类变量是否有关做出明确的判断。明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤，会对具体问题作出独立性检验。

2、过程与方法

在本节知识的学习中，应使学生从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性，树立学好本节知识的信心，在此基础上学习三维柱形图和二维柱形图，并认识它们的基本作用和存在的不足，从而为学习下面作好铺垫，进而介绍K的计算公式和K的平方的观测值R的求法，以及它们的实际意义。从中得出判断“X与Y有关系”的一般步骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可信程度的大小。最后介绍了独立性检验思想的综合运用。

3、情感、态度与价值观

通过本节知识的学习，首先让学生了解对两个分类博变量进行独立性检验的必要性和作用，并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别，从而引导学生去探索新知识，培养学生全面的观点和辨证地分析问题，不为假想所迷惑，寻求问题的内在联系，培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质。加强与现实生活相联系，从对实际问题的分析中学会利用图形分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联系，学习用图形、数据来正确描述两个变量的关系。明确数学在现实生活中的重要作用和实际价值。教学中，应多给学生提供自主学习、独立探究、合作交流的机会。养成严谨的学习态度及实事求是的分析问题、解决问题的科学世界观，并会用所学到的知识来解决实际问题。

二、教学重点、难点

教学重点：

（1）通过对实际问题的分析探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用；了解独立性检验的常用方法：K（或R）的大小关系. （2）通过典型案例的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用. （3）理解独立性检验的基本思想及实施步骤，能运用自己所学的知识对具体案例进行检验. 教学难点； （1）了解独立性检验的基本思想；

（2）了解随机变量K的含义,K太大认为两个分类变量是有关系的；

（3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明

.四、教学策略

22222

教学方法：诱思探究教学法 学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

教学手段：多媒体辅助教学

五、教学过程：

【教学过程】

一、情境引入，提出问题

5月31日是世界无烟日，有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、肺病等都与吸烟有关，吸烟已经成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？

[设计意图说明] 好的课堂情景引入，能激发学生的求知欲，是新问题能够顺利解决的前提之一。

问题 你认为吸烟与患肺癌有关系吗？怎样用数学知识说明呢？

[设计意图说明] 提出问题，引导学生自主探究，指明方向，步步深入。

二、阅读教材，探究新知

1.分类变量

对于性别变量，其取值为男和女两种：

[设计意图说明] 利用图像向学生展示变量的不同取值，更加形象的表示分类变量的概念。

2

这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量。

生活中有很多这样的分类变量如：

是否吸烟

…

宗教信仰

国籍

民族

…

2.列联表

为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果： 表3—7 吸烟与患肺癌列联表 单位：人

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表（一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为22列联表）。

问题1、吸烟与患肺癌有关系吗？

由以上列联表，我们估计①在不吸烟者中患肺癌的比例为0.54%；

②在吸烟者中患肺癌的比例为2.28%。

因此，直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异。

还有其它方法来判断吸烟和患肺癌有关呢？

3.等高条形图

3

比较图中两个深色条的高可以发现，在吸烟样本中患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为吸烟更容易引发肺癌。

[设计意图说明]

从具体的事例出发引入概念，有利于帮助学生对概念的理解。

三、小组讨论，合作交流

问题2、你有多大程度判断吸烟与患肺癌有关？用什么方法进行检验呢？

我们先假设H0:吸烟与患肺癌没有关系。

用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”。 上述列联表中的数字用字母代替，可得如下列联表： 表3—8 吸烟与患肺癌列联表 单位：人

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

患肺癌

总计

a

b

ab

cd

abcd

c

d

bd

ac

则有其中nabcd为样本容量

acbd所以在H0成立的条件下应该有： abcd,或者abcd

即 adbc

探究：adbc的大小能说明了什么？

adbc越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；adbc越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量

n(adbc)2 K (1) (ab)(cd)(ac)(bd)2其中nabcd为样本容量。

探究：K的大小能说明什么？

若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K应该很小。根据表3—7中的数据，利用公式（1）计算得到K的观测值为

4 222

9965(777549422099)2k56.632 781721489874919965(777549422099)256.632这个值到底能告诉我们什么探究：k78172148987491呢？

统计学家经过研究后发现，在H0成立的情况下，

P(K26.635)0.01 (2) (2）式说明，在H0成立的情况下，K的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0.01，是一个小概率事件。

2现在K的观测值k56.632，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为2“吸烟与患肺癌有关系”。但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。

在上述过程中，实际上是借助于随机变量K的观测值k建立了一个判断H0是否成立的规则：

如果k6. 635，就判断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系。在该规则下，把结论“H0成立”错判成“H0不成立”的概率不会超过P(K6.635)0.01, 即有99%的把握认为H0不成立。

[设计意图说明] 独立性检验的思想是本节课的教学重点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，学生不仅能够直观感受，更是直接参与讨论和总结，从而让学生理解独立性检验的基本思想，突破本节课难点，培养学生的分析、探究、归纳能力以及小组协作的意识。

四、形成概念，重点精讲

上面解决问题的想法类似于反证法。要判断“两个分类变量有关系”，首先假设该结论不成立，即

H0：两个分类变量没有关系

成立。在该假设下我们所构造的随机变量K应该很小。如果由观测数据计算得到的K的2222

5

观测值k很大，则在一定可信程度上说明H0不成立，即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明在样本数据中没有发现足够的证据拒绝H0

怎样判断K的观测值k是大还是小呢？这仅需确定一个正数k0，当kk0时就认为K的观测值k大。此时相应于k0的判断规则为：如果kk0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”。我们称这样的k0为一个判断规则的临界值。按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过P(K2k0)。

根据上述，“独立性检验”的具体做法步骤为：

第一步：根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

第二步：利用公式计算随机变量K的观测值k；

第三步：比较k与k0的大小得出结论。

在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值k0：

表3-11 临界值表

222P(K2k0)

0.50 k0

0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828 判断

H0

是否成立的规则

如果P(K6.635)0.01，就判断

不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断

2H0

成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系。

在该规则下，把结论“H0成立”错判成“H0不成立”的概率不会差过P(K26.635)0.01即有99%的把握认为

H0

不成立。

独立性检验的定义

上面这种利用随机变量K来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。

反证法原理与独立性检验原理

在假设H0下,如果推出一个矛盾,就证明了H0不成立.

在假设H0 下,如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件,就推断H0 不成立,且该推断犯错误的概率不超过这个小概率. 6 2

vs

独立性检验的基本思想：

类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系”

这一结论成立的可信程度的判断：

（1）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立. （2）在假设条件下，计算构造的随机变量K，如果由观测数据计算得到的K很大，则在一定程度上说明假设不合理. （3）根据随机变量K的含义，可以通过（2）式评价假设不合理的程度，由实际计算出的k>6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即“两个分类有关系”这一结论成立的可信程度约为99%.

五、运用新知，归纳展示

例1、为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取500名学生，得到如下列联表： 单位：人

男

女

总计

喜欢数学课程

104 95 199 不喜欢数学课程

128 173 301 总计

232 268 500 222能够有95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？

解：根据列联表中的数据，得到

500(10417312895)24.5663

k2322681993014.56633.841

所以，能够有95％的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”。

[设计意图说明] 通过目标检测结果性评价来激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，及时反馈学生信息，了解学生的学习效果。

例2．在某医院，因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人秃顶，而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 人秃顶． (1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系． (2)能够以 99 ％的把握认为秃顶与患心脏病有关系吗？为什么？

解：根据题目所给数据得到如下列联表：

(1)相应的三维柱形图如图3.2一4所示．比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的

7

乘积要大一些，可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”.

(2)根据列联表3一11中的数据，得到

1437(214597175451)2k3891048665772≈16.373>6 . 因此有 99 ％的把握认为“秃顶与患心脏病有关” . [设计意图说明] 学以致用，学生对独立性检验进行实际应用。通过学生展示，一方面巩固了知识，体现了数学在实际中的应用，另一方面暴露了学生的书写不规范问题，加强规范要求。 六、课堂检测，节节达标

1、在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算得K2=27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 有关 （

有关，无关） 2、随机抽取105个行人，了解他们的性别与是否遵守交通规则之间有没有关系，经过计算得K2=10.59 ，根据这一数据分析。我们 99.9% 把握认为性别与是否遵守交通规则有关系

3．下面是一个2×2列联表

x1 x2 合计

则表中a、b的值分别为(C) A．94、96 B．52、50 C．52、54 D．54、52 解析：由a＋21＝73，得a＝52，由b＋46＝100，得b＝54. 4、在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，下列说法正确的是（ ）

A、若观测值K=6.635，则我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸

8 y1 a 2 y2 21 25 46 合计

73 27 100

b

烟的人中必有99人患有肺癌。

B、在独立性检验可知，当有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌。

C、从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺癌有关系，是指有5%的可能性使得判断出现错误。

D、以上三种说法都不正确。

5、某市政府调查市民收增减与旅游愿望的关系时，采用独立检验法抽查了3 000人计算发现K2=6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收增减速与旅游愿望有关系的可信程度是（ c ）

P(K2k0)

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0

0.455 0.708 1.323 2.072 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A、90% B、95% C、97.7% D、99.5% 例3.在500人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。问：该种血清能否起到预防感冒的作用？

使用血清

未使用血清

合计

未感冒

258 216 474 感冒

242 284 526 合计

500 500 1000 解：设H0：感冒与是否使用该血清没有关系。

2582842422167.0751000K

474526500500

22因当H0成立时，k2≥6.635的概率约为0.01，故有99%的把握认为该血清能起到预防感冒的作用。

例4：为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？

口服

有效

58 无效

40 合计

98

9

注射

合计

64 122 31 71 95 193 解：设H0：药的效果与给药方式没有关系。

19358316440K1.3896122719895222因当H0成立时，K≥1.3896的概率大于10%，故不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。

例5：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？

复方江剪刀草

胆黄片

合计

有效

184 91 275 无效

61 9 70 合计

245 100 345 解：设H0：两种中草药的治疗效果没有差异。

34518496191K11.09827570245100

22因当H0成立时，k2≥10.828的概率为0.001，故有99.9%的把握认为，两种药物的疗效有差异。

7、某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

专业

性别

男

女

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到

13 7 10 20 非统计专业

统计专业

50(1320107)2k4.84423272030

因为K3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 5%

10 2

1.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是

（ ）

A.若K6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟者中，有

99个患肺病。

B.从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么

他有99%的可能性患肺病。

C.若从统计数据中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使推

断出现错误。

D.以上三种说法都不对。

2.为了研究高中生的数学成绩和物理成绩的关系,在某校随机抽取部分学生调查,得到如下列联表： 单位：人

数学好

数学差

合计

物理好

104 56 160 物理差

96 94 190 合计

200 150 350 2根据抽查数据，你能够有99%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩之间有关系吗？请阐明得出结论的依据。

[设计意图说明] 通过目标检测结果性评价来激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，及时反馈学生信息，了解学生的学习效果。

七、归纳小结，提炼精髓

1．了解2×2列联表的意义并能识别等高条形图；

2．了解独立性检验的基本思想；

3．了解独立性检验的操作步骤。

1）、根据样本数据制成2×2列联表。

n(adbc)22）、根据公式 K(ab)(cd)(ac)(bd)2 计算K的值。

23）、比较K与临界值的大小关系作统计推断

[设计意图说明] 通过回忆、归纳、总结，强调重点知识，体现课标精神，达到教学目的。

八、课后作业，自主学习

课后习题，活页练

[设计意图说明]

巩固本节课基础知识，加深知识的应用。

11 2

【板书设计】

【教学评价与反思】

教学过程始终贯彻以学生为主体的探究式学习，学生思考、探究、讨论，得出解决问题的思路并完成落实，总结出解题的一般步骤，教师只起到提出问题，适时点评、提升的作用。

通过课堂检测，及时反馈学生学习效果，达到了教学目标。课堂上处处以学生为主体，体现高效课堂本质，相比传统课堂效果更好，培养了学生能力，体现课标精神。

独立性检验的基本思想及其初步应用

1、分类变量

2、列联表

3、卡方统计量

12