小结优秀获奖教案

课题: §3不等式小结（1）

授课类型：复习课

【教学目标】

1．知识与技能: 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2．过程与方法:

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．

【教学重、难点】

重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法．

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．

【教学过程】

1．知识结构

一元二次不等式及其解法

2．知识梳理

1.一元二次不等式及其解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：ax2bxc0，或ax2bxc0 (a0)．

一般地，怎样确定一元二次不等式ax2bxc0与ax2bxc0的解集呢？

组织学生讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：

简单的线性规划问题

最大（小）值问题

二元一次不等式（组）与平面区域

基本不等式

不等关系与不等式

1

①抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax2bxc0的根的情况；

②抛物线yax2bxc的开口方向，也就是a的符号．

总结讨论结果：

①抛物线

yax2bxc(a0)与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax2bxc0的判别式b24ac三种取值情况(0，0，0）来确定．因此，要分二种情况讨论．

②a0可以转化为a0

分0，0，0三种情况，得到一元二次不等式ax2bxc0与ax2bxc0(a0)的解集．

设相应的一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成以下的表格)

0

0

0

b24ac

二次函数

yax2bxc

(a0)的图象

一元二次方程

ax2bxc0

ax2bxc0(a0)的解集

ax2bxc0(a0)的解集

有两相等实根

x1x2b

2a

无实根

有两不等实根

x1, x2 (x1x2)

xxx或xx

12bxx

2aR 

xx1xx2



解一元二次不等式的步骤：

xaxb2c0(或0) (a0)．

①将二次项系数化为“”：A②计算判别式，分析不等式的解的情况：

ⅰ．0时，求根x1x2，若A0，则xx1或x2;

若A0，则xxx.12若A0，则xx0的一切实数；ⅱ．0时，求根，若A0，则x；

若A0，则xx.0ⅲ．0时，方程无解，③写出解集．

3．典型例题

若A0，则xR；若A0，则x.

2

2.解一元二次不等式

例1. 解不等式：x28x3＞0

例2.已知不等式

ax2bxc＞0的解集为{x| 2＜x＜3}，求不等式

cx2bxa＞0的解集.

例3.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装备流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下关系

：y-2x2220x 。

若这家厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？

例4. 已设函数f（x）=mx2－mx－1，对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围

4．课后思考

1.

已知一元二次不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4＞0的解集为R，求m的取值范围．

2.

已知二次函数y＝(m－2)x2＋2(m－2)x＋4的值恒大于零，求m的取值范围．

3. 已知一元二次不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4≤0

求m的取值范围．

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