1.3 二项式定理（通用）优质课教学设计

[课题]二项式定理（一）

教材：人教A版选修2-3第一章第三节

［教学内容解析］

在多项式的运算中，二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微积分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示机会.本小节内容安排在计数原理之后，一方面是因为二项式定理的推导过程及证明要用到计数原理，另一方面二项式系数是一些特殊的组合数，因此本课的学习对排列组合部分知识的深化认识有好处.另外，二项式定理也为学习随机变量及其分布做准备. 二项式定理还可以解决近似计算、整除、不等式证明等问题，有着综合性强、联系不同知识点的特点。 ［教学目标设置］

依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：

（一）教学目标

1、知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

（二）重、难点分析

重点：用计数原理分析(1x)4、(ax)4的展开式，归纳得到二项式定理．

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开式各项的形成规律．

［学生学情分析］

本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了计数原理和排列组合知识，具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但要把二项式定理与排列组合问题联系起来，还是比较困难的，因此需要创设一个环境，从语言感知，文字感知及图形感知等各个方面构建学生的思维认知。

［教学策略分析］

为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：

1．教法分析 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，

由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 2．学法分析 根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行归纳、类比迁移，对照学习。学生在教师营造的“可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。 ［教学过程］

（一）

创设情境，引出问题

今天是星期五，14天以后的这一天是星期几？23天后的这一天呢？再过810天后是星期几？

引题：

得到71?，如果不用计算器，此时久需要研究(ab)n?

（二）逐步探究，发现规律

1.探究一：abcd

问题一：每一项是怎么产生的? 问题二; 共有多少项？

2.探究二：abcde

问题一：每一项是怎么产生的? 问题二; 共有多少项？

复习引入：

【

问题1】

⑴(ab)2?；⑵(ab)3?

【

问题2】

用多项式的乘法能否快速求出(ab)40

引出课题：(ab)n的展开式有什么规律？

（三）新课讲解

（一）二项式定理的推导

【推导思想的启发】：特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明。

【特殊的分析】

1、用计数原理的思想分析(ab)2的展开式。

（1）展开式的项的由来及特点；

（2）各项系数如何用选b的情况来求。

2、引导学生用类比的思想分析(ab)3的展开式。

10

3、引导学生类比(ab)2、(ab)3的展开式直接写出(ab)4的展开式。

4、引导学生通过写(ab)4的展开式分析写出类似展开式应注意哪些要点。

[二项式定理的猜想] ：

引导学生根据(ab)2、(ab)3、(ab)4的展开式猜想(ab)n的展开式

[二项式定理的证明]：

引导学生从两个方面验证：

k①为什么每一项都是ankbk的形式？②为什么含ankbk的项的系数是Cn

（四）熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

①项数：共有n1项. ②次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0

；字母b按升幂排列，次数由0递增到n. 各项的次数都等于n

．

012knk③二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数. knkk④二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表示. knkk即通项为展开式的第k1项: Tk1=Cnab

（五）例题应用：

例1. 求(2x)5的展开式. 变式训练：求(x2)7的展开式. 【设计意图】熟练公式，考察对(ab)n）的展开理解，并且进一步明确展开式中各项的规律. 例2. 求(12x)7展开式的第4项. 变式1：求(12x)7展开式的第6项的二项式系数. 变式2：求(12x)7展开式的x5项的系数. 【设计意图】掌握通项，区分二项式系数与系数，培养学生的运算能力. 1例3、求(x)9的展开式中x3的系数

x变式：求(x19)的展开式中有理性共有多少项？

x1变式：求x(x)9的展开式中x4的系数？

x11变式：求x(x)9的展开式中x4的系数？

xx【设计意图】通过例题加深学生对通项公式的掌握和应用. 思考：试求(x2yz)6的展开式中含xy2z3项的系数

（六）课堂小结

：

二项式定理的探索思路: 从特殊到一般的思维方式；

二项式定理及通项公式的特点

；

二项式定理及通项公式的应用。

（七）课后作业：

教学反思：

准备这节课，我主要考虑下面几个问题：

（1）这节课的教学目的“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我认为后者重要。于是，我这节课用大部分时间是来引导学生探究。

（2）学生怎样才能掌握二项式定理？是通过大量的练习来达到目的，还是通过学生对二项式定理的形成过程来记忆？

“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”，我还是要求学生去探索二项式定理，这样也符合以教师为主导、学生为主体、师生互动的新课程教学理念。

（3）准备什么样的例题？例题的目的是为了巩固本节课所学，通过例题加深学生对二项式定理的理解和对通项公式的掌握，区分系数和二项式系数。

教案设计说明

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式，

把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．为突破难点，本课采用有特殊到一般的推导思路，先以(1x)4为对象进行一个量的变化探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，再以(ax)4为桥梁，重点分析各单项的构成，为推导(ab)n的展开式提供了思路，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．