2.基本不等式教学创新设计

选修4--5 不等式选讲

课 题：

第02课时 基本不等式

教学目标：

1.

知识与技能目标：

（1）

掌握基本不等式abab，认识其运算结构；

2（2）

理解基本不等式的几何意义和代数意义；

（3）

能够利用基本不等式求简单的最值。

2.

过程与方法目标：

经历有几何图形抽象出基本不等式的过程，体验数形结合思想。

3.

情感态度和价值观目标：

学会用数学的眼光观察、分析事物，体会多角度探索解决问题。

教学重点难点：

利用基本不等式的运用技巧。

教学方法：启发引导与自主探索相结合。

教学设计：

一、引入：

我们已经学习过重要不等式

a²+b²≥2ab，下面将它以定理的形式给出. 二、定理1

如果a, b∈R, 那么a²+b²≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。

让学生自己给出证明. 探究：

你能从几何的角度解释定理1吗？

分析：a²与b²的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。

几何意义：如图把实数a，b作为线段长度，以a≥b为例，在正方形ABCD中，

AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.则

S正方形ABCD+S正方形CEFG=a²+b².

S矩形CEFG2ab

S矩形BCGH，其值等a b b A H I K D G F 于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积B J a C b E 和。即a²+b²≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有

a²+b²=2ab。

三、定理2：将定理1做简单变形即可得到定理2，如下：

abab，当且仅当a=b时，等号成立. 如果a,b>0，那么2证明：因为

abab222ab2ab

所以abab，

2

上式当且仅当ab，即a=b时，等号成立。

其中ab为a,b的算术平均，aba,b的几何平均，于是基本不等式可以表述为:2 两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

几何意义为:

如图在直角三角形中，CO、CD分A O C 别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。

D B 四、.教学例题

例2求证:1在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大;2在所有面相同的矩形中,正方形的周长最短.

分析设矩形的长为x,宽为y,那么该矩形的周长为2xy,面积为xy.这样,问题就转化为:1如果2xy从而xy为定值,那么正数x,y有什么关系时xy最大?2如果xy为定值,那么正数x,y有什么关系时2xy从而xy最小?由于基本不等式恰好涉及两个正数的和与积之间的数量关系,所以可以利用基本不等式证明.解设矩形的长为x,宽为y1设矩形周长为定值l,即2x2yl为定值.

根据基本不等式xylxy,可得xy24

l2于是,矩形的面积xy,16

当且仅当xy时，l2等号成立,即当且仅当矩形是正方形时,面积xy取得最大值.16，2设矩形面积为定值S，即xyS为定值，

根据基本不等式xyxy，

2

矩形的周长2xy4xy4S,

当且仅当xy时,等号成立,即当且仅当矩形是正方形时周长2xy取得最小值4S.

结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值s，那么当x=y时，和x+y有1最小值2p；（2）如果和x+y是定值l，那么当x=y时，积xy有最大值S2

4说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

ⅲ）等号成立条件必须存在。

五、课堂练习

1.已知a0,b0,求证：ab114.

ab2.已知x0,y0且xy100.x=___,y= _____。

,则xy的最小值是，此时六、课堂小结：

理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，

一定要满足“一正二定三相等”的条件。

七、课后作业

课本P10习题1.1第5，6，7题