小结优质课一等奖教案

北重三中

曹静慧

正态分布

一、情景引入

1. 这是一块高尔顿板，

让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。

（1 ）球会掉入哪个球槽内？（2）球会掉入哪个球槽内的概率高？（3）槽内小球堆积的高度特征？

y

样本容量增大时频率分布直方图

x

O

二、探究新知

1、正态曲线的定义

这条曲线就是（或近似地是）下面函数

的图象：



，( x ) 

1

2

e( x2

 )

2

，

x (,)



2

式中的实数

, 

(



0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称

(x)，

的

图象为正态分布密度曲线，简称正态曲

线.



的意义：

总体平均数反映总体随机变量的平均水平

的意义：

总体标准差反映总体随机变量的集中与发散的程度

2、正态分布的表示

1

2



, ( x ) 

e

2

( x )22

如果对于任何实数 a

随机变量X满足:

P ( a  X  b )



a



,

( x ) dxb

则称，随机变量

X

服从正态分布，则记为 X ~ N

 , 

2



服从正态分布的随机变量叫做正态变量.

正态分布存在于自然现象、生产和生活实际之中，在概率和统计中占有重要的地位．

经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。

在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；

在测量中，测量结果；

在生物学中，同一群体的某一特征；……在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；

正态分布在概率和统计中占有重要地位。

；

3、正态曲线的特征：

1

， ( x ) e

2

( x)2

2

2

， x (,)

（1）曲线位于x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.

（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)（4）曲线与x轴之间的面积为11

2πσ

μ=0

μ= -1

μ= 1

σ=0.5

3

1

2

（5）当



一定时，曲线的位置由



确定，曲线随着的变化而沿

x

轴平移。

y

X=μ

σ=0.5

σ=1

σ=2

-3 -2

-1

0

1 2

3

x

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

4、服从正态分布随机变量的概率：

正态曲线下的面积规律

S(-,-)

=1

当X 1

 X 2 

2时

2

S (

, X

1

)

 S ( X 2

,

)

X1



X 2

对称区域面积相等

S(-x)

1，-x2)=S(x2，x1

S(-x

1, -x2)

-x1-x

2

 x2 x1

5、三个特殊区间的概率:

P



 X 







0.6826P



2

 X 





2



0.9544

P

3

 X 



3



0.9974

3σ原则正态总体在区间

 3 , 

 3



以外取值的概率只有0.26％,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态2分

布的

随

机

变

量

只

取之间的值，并称为3σ原则．

N(μ,σ)

3,3



 3223





3.设两个正态分布N(μ1，σ1)(σ1>0)和N(μ2，σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，A则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2

课堂小结

1.正态曲线：

2.正态曲线的性质：6条