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课题：不等式恒成立问题执教人：湖南省株洲市第四中学尹志雄教材版本：高中数学人教版教材章节：必修五·第三章·不等式与一元二次不等式有关的不等式恒成立问题教学目标：1、进一步掌握一元二次不等式的解法；2、理解并掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法；3、通过“问题解决”体会数形结合、分类讨论、转化与
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复习参考题名师教学设计2
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关键词：复习参考题名师教学设计2
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课题：不等式恒成立问题
执教人：湖南省株洲市第四中学
尹志雄
教材版本：高中数学人教版
教材章节：必修五·第三章·不等式
与一元二次不等式有关的不等式恒成立问题
教学目标：1、进一步掌握一元二次不等式的解法；
2、理解并掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法；
3、通过“问题解决”体会数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想。
教学重点与难点：
运用数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法，解决与一元二次不等式有关的恒成立问题。
教学设计：
一、问题提出：
例题1：（1）若对一切实数x，不等式
x2-mx＋4>0恒成立，求实数m的取值范围．
（2）当实数x∈[1,2]时，不等式x2-mx＋4< 0 恒成立，求实数m的取值范围．
1、理解问题，分析原理：
“不等式f(x)>0 (或f(x)<0 )在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)
在区间[a，b]上的图象全部在
x
轴上方(或下方)。
y
xO
不等式恒成立问题常转化为函数求最值问题，即：
yf(x)≥k在区间I上恒成立
⇔
k≤f(x)min，x∈I；
f(x)≤k在区间I上恒成立
⇔
k≥f(x)max，x∈I。
2、解法探究（与学生共同探究）
（1）解析：构造函数
f(x)xmx4，xR，则
f(x)
在R上恒大于0，等价于：△=m160，∴m(-4,4)。
（2）解法一：构造函数f(x)＝x2-mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)。由于当x∈[1,2]时，不等式
x2-mx＋4< 0恒成立．则有f(1)< 0且f(2)< 0，∴
m > 4 且
m > 5，∴
m > 5。
2Ox2
解法二：x24mx，x∈[1,2]，
构造函数f(x)＝x24，x∈[1,2]，
g(x)＝mx，x∈[1,2]，
结合二次函数与一次函数图象可得：
m5. 解法三：由
x2-mx＋4< 0 ，
有mx24xx4x。
令h(x)x4x，x∈[1,2]，
有h(x)max5
∴
m > 5。
二、反思与感悟
结合上述解题过程，总结有关不等式恒成立求参数的取值范围的常用方法。
不等式恒成立问题求解主要有两种方法：
（1）构造函数法。构造关于变量的函数，求出函数的最大(小)值，或结合函数图象关系得解。
（2）参量分离法。若能将参量、变量分离，则构造关于变量的函数，转化为“求函数的最大(小)值”问题得解。口诀：“参量分离，变量集中”。
三、拓展提升
例题2：设函数
f (x)=mx2-mx-1< 0 。
（1）
若对于一切实数x，
f (x)< 0 恒成立，求实数
m
的取值范围；
（2）对于x∈[1,3]，f (x) < -m+5
恒成立，求实数
m
的取值范围。
1、学生讨论、板演；
2、师生共同质疑、点评；
3、解法分析（与学生共同探究）
O
4、变式：
设函数
f (x)=mx2-mx-1< 0 . 对于m∈[1,3]，f (x) < -m+5
恒成立，求实数
x
的取值范围．
五、反馈训练
设函数
f (x)=2ax (a>0) , g (x)=1. x
若
f (x) ≤
g (x) 在x[,1]上恒成立，求实数a的取值范围．
六、课堂小结：
有关不等式恒成立求参数的取值范围，常用方法有两种：
（1）构造函数法：构造关于变量的函数，求出函数的最大(小)值，或结合函数图象关系得解。
（2）参量分离法：
口诀：“参量分离，变量集中”。
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