1.3 二项式定理（通用）教学设计案例

§1．3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课 课时安排：3课时

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

教学过程：

一、复习引入：

⑴(ab)a2abbC2aC2abC2b；

031233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC32ab2C3b

22202122⑶(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，a4的系数是C4；恰有1个取b的情况有C4种，a3b的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，a2b2的系数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab3的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b4的系数是C4，

42334112004

∴(ab)C4aC4abC4abC4abC4b．

404132223344二、讲解新课：

0n1n二项式定理：(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

nan，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，an的系数是Cn；

11恰有1个取b的情况有Cn种，anb的系数是Cn，……，

rr恰有r个取b的情况有Cn种，anrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，bn的系数是Cn，

0n1n∴(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)的二项展开式，⑶它有n1r项，各项的系数Cn(r0,1,nn)叫二项式系数，

rnrrrnrr⑷Cnab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnab．

1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

三、讲解范例：

1例1．展开(1)4．

x11464111112313解一：

(1)41C4()C4()C4()()41234．

xxxxxxxxx111413123解二：(1)4()4(x1)4()4xCxCxC444x1

xxx46411234．

xxxx

例2．展开(2x16)．

x

解：(2x161)3(2x1)6

xx16152433221[(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)1]

666663x6012164x3192x2240x16023．

xxx12例3．求(xa)的展开式中的倒数第4项

解：(xa)的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

12

例4．求（1）(2a3b)，（2）(3b2a)的展开式中的第3项．

2解：（1）T21C6(2a)4(3b)22160a4b2，

2 （2）T21C6(3b)4(2a)24860b4a2．

66点评：(2a3b)，(3b2a)的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

例5．（1）求(66x339)的展开式常数项；

x39)的展开式的中间两项

xr9（2）求(x339rx9r3rr2r9)C93x2，

解：∵Tr1C()(3x∴（1）当9（2）(3r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C96332268；

2x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

xx912T5C3

498994253109x2378x3 3，T6C9x15例6．（1）求(12x)的展开式的第4项的系数；

7

（2）求(x)9的展开式中x3的系数及二项式系数

3解：(12x)的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

1x7∴(12x)的展开式的第四项的系数是280．

r9r（2）∵(x)9的展开式的通项是Tr1C9x()r(1)rC9rx92r，

71x∴92r3，r3，

1x33∴x3的系数(1)3C984，x3的二项式系数C984．

例7．求(x3x4)的展开式中x的系数

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）(x3x4)[(x3x)4]

1234C40(x23x)4C4(x23x)34C4(x23x)242C4(x23x)43C444，

242424显然，上式中只有第四项中含x的项，

∴展开式中含x的项的系数是C434768

（法二）：(x3x4)[(x1)(x4)](x1)(x4)

0413223404133(C4xC4xC4xC4xC4)(C4xC4x4C42x242C4x43C4444)

2444433∴展开式中含x的项的系数是C44C44768．

例8．已知f(x)12x14x

(m,nN)的展开式中含x项的系数为36，求展mn3433*开式中含x2项的系数最小值

分析：展开式中含x2项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得2m4n36，从而转化为关于m或n的二次函数求解

解：12x14x展开式中含x的项为

1111Cm2xCn4x(2Cm4Cn)x

11∴(2Cm4Cn)36，即m2n18，

mn

12xm14x展开式中含x2的项的系数为

n2222tCm2Cn42m22m8n28n，

∵m2n18，

∴m182n，

∴t2(182n)2(182n)8n8n16n2148n612

2216(n23715337时，t取最小值，但nN*，

n)，∴当n448∴

n5时，t即x2项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．

例9．已知(x124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 1解：由题意：2Cn1121Cn()2，即n29n80，∴n8(n1舍去）

22163rrrr1rr8rC8(4)()C8x2x41rx4222x

∴Tr1Cr8x8r1r0r8

rZ①若Tr1是常数项，则163r0，即163r0，

4163r为整数，

4∵rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项；

②若Tr1是有理项，当且仅当∴0r8,rZ，∴

r0,4,8，

即

展开式中有三项有理项，分别是：T1x，T5

例10．求0.9986的近似值，使误差小于0.001．

01解：0.9986(10.002)6C6C6(0.002)16C6(0.002)6，

43512x，T9x 82562展开式中第三项为C60.00220.00006，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，

01∴0.9986(10.002)6C6C6(0.002)10.998，

一般地当a较小时(1a)1na

n四、课堂练习：

1.求2a3b的展开式的第3项. 6

2.求3b2a的展开式的第3项. 3.写出(3x6123x7)n的展开式的第r+1项. 4.求x2x3的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 5.用二项式定理展开：

（1）(a3b)5；（2）(x25). 2x56.化简：（1）(17．xx（2）(2x3xx)(1x)；651212)(2x3x41212)4 lgx5展开式中的第3项为102n，求x．

1 8．求x展开式的中间项

x2答案：1.

T21C6(2a)62(3b)22160a4b2

22.

T21C6(3b)62(2a)24860a2b4

n2r1r3r3nrr3.

Tr1Cn(x)(

)Cnx322x1r3334.展开式的第4项的二项式系数C735，第4项的系数C72280

5.

（1）(a3b)a5a（2）(5543b10a33b210a2b5ab3bb3b2；

x25125xxx)xxxx5x20402323. 2328xxxxx)5(1x)5220x10x2；

1246.

（1）(112（2）(2x3x)(2x3x)192x2532lgx12124432

x7.

xxlgx5展开式中的第3项为Cx106x32lgx105

2lg2x3lgx50lgx1,lgx1n8.

x展开式的中间项为(1)nC2n

x2n105

x10,x10002

五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业：

P36 习题1.3A组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）

八、教学反思：

ｎ (a+b) =

ｎ这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)的 ，其中Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

二项式定理是指(ab)nn1n22nrranC1bC2bCrb

nananan22233223Cnnb这样一个展开式的公式.它是(a+b)=a+2ab+b，(a+b)=a+3ab+3ab+b…等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公－式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式y′=nxn1，同时1lim(1)n=e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e在高等数学中的nn地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式ei=cosθ+isinθ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立θ的y=lnx的导数公式y=11与积分公式=dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由xxfn(x0)f(x0)2y=x的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(x－x0)+…(x－n!1!nf(n1)[x0(xx0)]x0)+(xx0)n1(θ∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更是广(n1)!n泛深入到高等数学的各个分支中.

怎样使二项式定理的教学生动有趣

正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？

怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结

构中的图式不协调的事实.