一 比较法教学目标

比较法教案

甘肃省武威市民勤县第一中学 祁世泽

教学目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

新课难点、重点：

1、重点：不等式的常用证明方法之一——比较法；

2、难点：熟练地运用作差、作商比较法证明不等式；

3、解决措施：启发诱导、精讲多练。

教学方法：启发与诱导、讲练结合。

教学过程：

一、引入新课： 1．作差比较法

(1)作差比较法的理论依据a－b>0⇔

a > b，a－b<0⇔

a < b

. (2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论．

其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定

差与0的大小

，常用的手段有因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等．

2．作商比较法

(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：

①b>0，若

>1

，则a>b；若 <1

，则a

ababab②b<0，若

>1

，则a

<1

，则a>b. ab(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b的符号；②作商；③变形整理；④判定

与1的大小关系；⑤得出结论．二、例题讲解

考点一：作差比较法证明不等式

[例1]

设△ABC的三边长分别是a，b，c，求证：4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2.

[证明]

∵a，b，c是△ABC的三边长，

∴a>0，b>0，c>0，且b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0. ∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2) ＝(b＋c－a)a＋(c＋a－b)b＋(a＋b－c)c>0. ∴4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2. 变式练习：

1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)．

＋＋证明：a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，

∴a2＋b2≥2(a－b－1)．

2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an1＋bn1)．

证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an1＋bn1) ＋＋＝an1＋abn＋ban＋bn1－2an1－2bn1

＋＋＋＋＝a(bn－an)＋b(an－bn)＝(a－b)(bn－an)．

①若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，∴(a－b)(bn－an)<0. ②若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0.∴(a－b)(bn－an)<0. ③若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0. 综上所述，对于a，b∈R＋，n∈N*，都有(a＋b)(an＋bn)≤2(an1＋bn1)．

＋＋方法总结1：

(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号．

(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．（运算）

(3)因式分解是常用的变形手段．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．

考点二：作差比较法证明不等式

[例2]

设a>0，b>0，求证：ab≥(ab) [证明]

∵ababa＋b

>0，(ab) >0，

2aba＋b2. aaabba－bb－aa－b

＝2∴

a＋b

＝2a

·b . 2b

ab

2aa－b

当a＝b时，显然有2＝1；

b a－ba当a>b>0时，>1，>0，

b2aa－b

>1；

∴由指数函数单调性，有2b a－ba当b>a>0时，0<<1，<0，

b2a－ba

>1. ∴由指数函数的单调性，有2b 综上可知，对任意实数a，b，都有aabb≥(ab)

.

方法总结2：

当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．

变式练习：

3．如果a，b都是正数，且a≠b，求证a6＋b6>a4b2＋a2b4. a6＋b6证明：法一：∵4224

ab＋aba＋b2

a2＋b2a4－a2b2＋b4a4＋b4－a2b2＝＝

a2b2a2b2a2＋b22a2b2－a2b2>＝1.又a6＋b6>0，a4b2＋a2b4>0，

22ab∴a6＋b6>a4b2＋a2b4. 法二：a6＋b6－a4b2－a2b4＝a4(a2－b2)＋b4(b2－a2) ＝(a2－b2)(a4－b4)＝(a2－b2)2(a2＋b2)．∵a≠b，

∴(a2－b2)2>0，a2＋b2>0，∴(a2－b2)2(a2＋b2)>0. ∴a6＋b6>a4b2＋a2b4. 作差比较法步骤比较法

中心思想作商比较法步骤

中心思想 课后练习：1、2、3 课堂小结：