3.2.2 复数代数形式的乘除运算优秀教案

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

一、教学目标

（一）知识与技能

1、掌握复数的代数形式的乘、除运算的法则，熟练的进行复数的乘法和除法运算。

2、理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质。

（二）过程与方法

1、运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中的乘除法的过程。

2、培养学生分散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性。

（三）情感态度与价值观

通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法。

二、教学重难点

教学重点：复数的代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算，及共轭复数的概念

教学难点：复数除法的运算法则

三、学情分析

1、本节内容较简单，学生比较容易理解。

2、学生的运算能力有待加强，对新知识复数运算和实数运算的对比和迁移困惑

四、教学过程

（一）情景引入

复习导入

1. 计算（1）(14i)+(72i)

（2）(32i)-[(43i)(5i)]

（3）(2i)(2i)(2i)

2. 计算：（1）(13)(23) （2）(ab)(cd) （类比多项式的乘法引入复数的乘法）

（二）讲授新课

1.复数代数形式的乘法运算

①.复数的乘法法则：设z1abi,z2cdi是任意的两个复数，则它们的积为：

(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i。

例1．计算（1）(34i)(34i) （2）(34i)(34i) （3）[(32i)(43i)](5i) （4）(32i)[(43i)(5i)]

（教师板书一道其余三道由学生在下面板书）

探究1：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？

归纳：类比实数乘法运算定律，复数乘法同样满足交换律，结合律及分配律；z1z2z2z1,即

(z1z2)z3z1(z2z3),

(z1z2)z3z1z3z2z32(12i)(34i)(12i)变式训练1：（1）（2）(1i)

2345iiiii （3）

(abi)2a2(bi)22abi(a2b2)2abi,

归纳：A、(abi)(abi)a2(bi)2a2b2i4ni,i4n21,i4n3i,i1,nn*4n B、例1的（1）两个复数的实部相同，虚部互为相反数，我们称这两个复数为共轭复数，其中b0时，它们叫做共轭虚数。

zabi，则za-bi

注意：z的共轭复数常用z表示，即

变式训练2： 口答：下列复数的共轭复数32i,43i,5i,52i,7,2i

探究2：（1）两个共轭复数的对应点有怎样的位置关系？

（2）zz是一个什么数？

（3）如z是一个实数，则它的的共轭复数是怎样的数？

归纳 共轭复数的相关性质：

A、两个共轭复数的对应点关于实轴对称。

B、两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。zzzC、实数的共轭复数仍是它本身，即zz，zz

③类比1223(12)(23)(23)(23)2z

2的分母有理化，试写出复数的除法法则。

2．复数的除法法则

设复数的乘法法则：设z1abi,z2们的商为

(abi)(cdi)abi(abi)(cdi)acbdbcad22i22

cdi(cdi)(cdi)cdcdcdi是任意的两个复数，则它

其中cdi叫做实数化因子，这个过程实是分母实数化，即化虚为实。

例2．计算（1）(12i)(34i) （2） (32i)(23i)， （师生共同板演一道，再学生练习）

板书（2）法一：分母实数化分子分母同时乘以2+3i 32i(32i)i1i

法二：(32i)(23i)23i(23i)ii归纳:先写成分式形式然后分母实数化即可运算（一般分子分母同时乘以分母的共轭复数，但也有其他方法），最后化简成代数形式。

变式训练3：（1）（2010年高考浙江卷）求（2）1i1i1,,

1i1ii5i的值为 1i（3）（2009年高考海南、宁夏卷）复数（A）0 (B)2 (C) -2i (D)2i 32i32i等于（ ）

23i23i五、拓展反思

高考链接：

234520111iiiiiii)1．计算（1）

；（2） (20101i 2．若z1a2i,z234i，且复平面的下方，求a。

z1z2为纯虚数，求实数a的取值。变：z1z2在3．（2010年高考辽宁卷）设a，b为实数，若复数a= ，b= 。 4

、(200912i1i, 则abi年徐州高二检测)设P，Q是复平面上的点集，P＝{z|z·z＋

3i(z－z)＋5＝0}，Q＝{w|w＝2iz，z∈P}．设z1∈ P，z2∈ Q，求|z1－z2|的最大值与最小值．

六．小结

知识要点一：复数代数形式的乘法运算

1．复数乘法法则

2．复数乘法运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

z1·z2＝z2·z1(交换律)；

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；

z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(乘法对加法的分配律)．

知识要点二：共轭复数的性质

1．实数的共轭复数仍是它本身，即z＝z⇔z∈R. 2．z·z＝|z|2＝|z|2.zz

3．两个共轭复数的对应点关于实轴对称．

知识要点三：复数代数形式的除法运算

1.与根式除法的分母“有理化”很类似，实际上就是将分母实数化，注意最后结果一般写成实部与虚部分开的形式．

2．几个常见的结论

(1)i的幂的周期性

i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，n∈N*. 1＋i1－i12(2)(1±i)＝±2i，＝i，＝－i，i＝－i. 1－i1＋i七，作业

课本P61

A组

第4、5题

八、教学反思