探究与发现 组合数的两个性质教案板书设计

组合与组合数

[学习目标] 1．理解组合及组合数的概念．

2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．

[知识链接] 1．排列与组合有什么联系和区别？

答

排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的．组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果．

2．两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？

答

两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合是只要元素相同，不看元素顺序如何．

[预习导引] 1．组合的概念

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．组合数的概念

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn表示．

3．组合数公式

Ann（n－1）（n－2）…（n－m＋1）n！*C＝m＝＝(n，m∈N，m≤n). Amm！m！（n－m）！mnmm

要点一

组合概念的理解

例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．

(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？

(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？

(3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？

(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？

解

(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为

C10＝45. (2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C10＝45. (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C10＝120. (4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A10＝720. 规律方法

排列、组合问题的判断方法

(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．

(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

跟踪演练1 判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来．

(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？

(2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？

(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？

解

(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C7个．

(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了A8个电子邮件．

(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A4种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C4种票价．

要点二

组合数公式的应用

例2 (1)计算：C99＋C99＋C100；

(2)求值：Cn＋Cn＋1；

(3)解方程：C18＝C18. 解

(1)C98＋C99＋C100＝C100＋C100＝C101＝C101＝5 050；

0≤5－n≤n，(2)由组合数定义知：

0≤9－n≤n＋1，97989998999923n＋64n－25－n9－n97989922233322∴4≤n≤5，又∵n∈N，∴n＝4或5. *

当n＝4时，Cn＋Cn＋1＝C4＋C5＝5；

当n＝5时，Cn＋Cn＋1＝C5＋C6＝16. (3)由原方程及组合数性质可知

3n＋6＝4n－2，或3n＋6＝18－(4n－2)，

∴n＝2，或n＝8，而当n＝8时，

3n＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去．

因此n＝2. 规律方法

Ann（n－1）（n－2）…（n－m＋1）(1)公式C＝m＝，一般用于求值计算；

Amm！mnm5－n9－n045－n9－n15(2)公式Cn＝mn！*(m，n∈N，且m≤n)，一般用于化简证明．在具体选择公式时要根据m！（n－m）！题目特点正确选择．

(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质Cn＝Cn，Cn＋1＝Cn＋Cn，能起到简化运算的作用，需熟练掌握．

跟踪演练2 (1)计算：C100＋C200；

(2)求C3n＋C21＋n的值；

(3)证明：Cn＝9838－n3n98199mn－mmmm－1mnn－m199Cn－1. 21m(1)解

C100＋C200＝C100＋C200＝(2)解

由组合数定义知：

100×99＋200＝4 950＋200＝5 150. 219≤n≤38，20≤38－n≤3n，即

0≤3n≤21＋n.210≤n≤2.1921*∴≤n≤，∵n∈N，∴n＝10，

22∴C3n＋C21＋n＝C30＋C31＝C30＋C31＝(3)证明

38－n3n28302130×29＋31＝466. 2×1nn－mCn－1＝mnn－m·（n－1）！＝

m！（n－1－m）！n！m＝Cn. m！（n－m）！要点三

组合的简单应用

例3 一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．

(1)共有多少种不同的取法？

(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？

(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？

解

(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C8＝C8＝538×7×6＝56. 3×2×1(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成：

第一步，从7个白球中任取4个白球，有C7种取法；

第二步，把1个红球取出，有C1种取法．

故不同取法的种数是：

C7·C1＝C7＝C7＝35. (3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球

中任取5个白球即可，不同取法的种数是C7＝C7＝规律方法

基本组合问题的解法：

(1)判断是否为组合问题；

(2)是否分类或分步；

(3)根据组合相关知识进行求解．

跟踪演练3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？

(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

解

(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C10＝2524143147×6＝21. 2×110×9＝45(种)．

2×1(2)可把问题分两类情况：

第一类，选出的2名是男教师有C6种方法；

第二类，选出的2名是女教师有C4种方法．

根据分类加法原理，共有C6＋C4＝15＋6＝21(种)不同选法．

(3)从6名男教师中选2名的选法有C6种，从4名女教师中选2名的选法有C4种，根据分步乘法6×54×322计数原理，共有选法C6×C4＝×＝90(种). 2×12×1222222

1．已知Cn＝10，则n的值等于(

) A．10 B．5 C．3 D．2 答案

B 2．给出下列问题：

①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？

②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？

③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？

其中是组合问题的个数是(

) A．0 B．1 C．2 D．3 答案

C 3．下列等式不正确的是(

) A．Cn＝mm2n！

m！（n－m）！n－mB．Cn＝Cn

C．Cn＝mmm＋1m＋1Cn＋1

n＋1m＋1D．Cn＝Cn＋1

答案

D 4．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种．(结果用数值表示) 答案

7 解析

设餐厅至少还需准备x种不同的素菜．

由题意，得C5·Cx≥200，

从而有Cx≥20.即x(x－1)≥40.

又x≥2，所以x的最小值为7. 222

1．排列与组合的联系与区别

(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．

(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．

2．关于组合数的计算：

Ann（n－1）（n－2）…（n－m＋1）(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝m＝计算；

Amm！mnm(2)涉及字母的可以用阶乘式Cn＝mn！计算；

m！（n－m）！mn－m(3)计算时应注意利用组合数的性质Cn＝Cn简化运算.

一、基础达标

1．下列计算结果为21的是 A．A4＋C6

答案

D 2．下面几个问题中属于组合问题的是

(

) 22

2

2

(

) B．C7

7C．A7

D．C7

①由1，2，3，4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组合无重复数字的两位数的方法．

A．①③ 答案

C 3．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为

A．3

答案

B 解析

C4＝4. 4．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有

A．A10种 3333

B．②④

C．①②

D．①②④

(

) D．24

B．4

C．12

(

)

B．C10种

3C．C10A10种

答案

B D．30种

解析

三张票没区别，从10人中选3人即可，即C10. 3

5．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．

答案

96 解析

甲选2门有C4种选法，乙选3门有C4种选法，丙选3门有C4种选法．∴共有C4·C4·C4＝96(种)选法．

6．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．

答案

70 解析

根据结果分类：第一类，两台甲型机，有C4·C5＝30；

第二类，两台乙型机，有C4·C5＝40.根据分类加法计数原理，共有C4·C5＋C4·C3＝70. 7．直线x＝1，y＝x，将圆x＋y＝4分成A，B，C，D四个区域，用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？

解

第1步，涂A区域有C5种方法；第2步，涂B区域有C4种方法；第3步，涂C区域和D区域；若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C3种涂法，则D区域有C3种涂法．故共有C5·C4·(4＋C3·C3)＝260种不同的涂色方法．

二、能力提升

8．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有

A．35

答案

B 解析

先从7人中选出3人有C7＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C7＝70. 9．(2013·山东)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为

(

) 33111111112212211221233233

(

)

B．70

C．210

D．105 A．243

B．252

C．261

D．279

答案

B 解析

所有三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有C9A9＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252. 10．从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________. 答案

1∶2

解析

∵m＝C4，n＝A4，∴m∶n＝1∶2.

11．设x∈N，求C2x－3＋Cx＋1的值．

2x－3≥x－1，解

由题意可得：解得2≤x≤4，

x＋1≥2x－3，*2212x－12x－3∵x∈N，∴x＝2或x＝3或x＝4. 当x＝2时原式的值为4；当x＝3时原式的值为7；

当x＝4时原式的值为11.∴所求的值为4或7或11. 12．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止．

(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

解

(1)先排前4次测试，只能取正品，有A6种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C4·A2＝A4种测法，再排余下4件的测试位置，有A4种测法．所以共有不同测试方法A6·A4·A4＝103 680(种)．

(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．所以共有不同测试方法C4·(C6·C3)A4＝576(种)．

三、探究与创新

13．第21届世界杯足球赛于2018年夏季在俄罗斯举办，共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？

解

可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C4＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)2113442422244*

决赛：2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．