复习参考题教学目标

第3节

二项式定理

授课人：黄福平

马山县金伦中学

高考考点

利用二项式定理求展开式中的特定项或指定项的系数

二项式系数和与各项的系数和问题

命题分析

三年高考探源

考查频率

2017新课标全国Ⅰ6 从近三年高考情况来看，二项式定理是高考的重点内容，主要考查二项展开式的通项，二项式系数，展开式的系数等知识，难度控制在中低档，以选择题、填空题的形式出现，解题时应熟练基本概念、基本运算，充分利用方程思想及等价转化思想.

2015新课标全国Ⅱ 15

★★★★

2017新课标全国Ⅲ 4[ :学XX ][ :学。。。X。X。]

★★★★★

2016新课标全国Ⅰ 14 2015新课标全国Ⅰ 10

[ :学]

考点1

求二项展开式中特定项或指定项的系数

1x－6的展开式中的常数项是________．

调研1

2x15【答案】

4r1rr33161rr6－r2x－－【解析】二项式，∴当r＝2时，2x的展开式的通项公式为Tr＋1＝C6(x)2x＝(2)C6x15Tr＋1是常数项，此时T3＝.学

4调研2

在x(1x)6的展开式中,含x3项的系数为

A．30 C．15

B．20 D．10 【答案】C 【解析】因为选C.

☆技巧点拨☆

1．熟记二项式定理：(ab)CnaCna关键. 2．求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求

,再将

的值代回通项求解,注意

的取值范围（k0,1,2,L,n）. （1）第m项：：此时

+1=m,直接代入通项. （2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.

n0n1n1nkknbLCkbLCnnanb(nN)，是解决此类问题的的展开式的通项为,所以的展开式中含项的系数为，故考点2

已知二项展开式某项的系数求参数

调研1

已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝

A．－4

C．－2

【答案】D 221【解析】展开式中含x的系数为C5＋aC5＝5，解得a＝－1，故选D. 学

B．－3 D．－1 调研2

(ax)（ab0，且a,b为常数）的展开式中，x的系数为10ab，则n___________．

【答案】5 【解析】展开式中x的系数为Cnab，则由Cnab10ab，即Cn10，解得n5．

232232322bxn32

☆技巧点拨☆

对于参数问题，通常是运用通项由题意列方程求出参数即可；有时需先求n，计算时要注意n和

的取值范围及它们之间的大小关系．

考点3

二项式各项系数的和与二项式系数的区别

调研1

设(2x1)a0a1xa2x【答案】2

【解析】令x＝1可得＝2. 学

调研2

已知(x,令x＝0可得,所以52a5x5,则a1a2a5

_________. 2n)(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1，则展开式中二项2x式系数最大的项为_________. 【答案】1120x

6【解析】由题意知,第五项的系数为，解得，第三项的系数为，则有，化简可得(舍去).由6T1120x5知第5项二项式系数最大.此时.

☆技巧点拨☆

二项式系数与项的系数的区别

1n二项式系数是指C0n，Cn，…，Cn，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a＋bx)n的展rnrr开式中，第r＋1项的二项式系数是Crb.当然，某些特殊的二项展开式如(1＋x)n，n，而该项的系数是Cna－各项的系数与二项式系数是相等的．

考点4

二项式定理的综合应用

调研1

设a20xdx，则二项式(ax15)展开式中含x2项的系数是

x

A．80

B．640 D．−40 C．−160 【答案】A 【解析】依题意，,则二项式)5,即)5，故展开式的通项公式为，得调研2

已知(xA．4 C．6

，故展开式中含x2项的系数为，故选A. 2n)的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则该展开式中所有有理项的项数为

x2

B．5 D．7 【答案】C学

【解析】由题意可知：，.，

5. ，所有有理项的项数为6项.故选C.

要求该展开式中的有理项，只需令11．（广东省揭阳市2018年高三高考第二次模拟考试）已知x1ax的展开式中常数项为40，则ax的值为

A．2

C．2

【答案】C

B．2

D．4

【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求

1解能力.首先写出ax展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得x最终结果.

5xy2．（宁夏银川市第二中学2018届高三下学期高考等值卷（二模））的展开式中x2y2的系数为

yxA．70

C．－1

【答案】A

B．80

D．－80 8

1

3．（福建省龙岩市

2018届高三下学期教学质量检查(4月)）已知二项式12x，则展开式的常数项x为

A．1

B．1

D．49 4C．47

【答案】B 111111【解析】12x12x142x62x42x2x，

xxxxxx1二项式中的常数项产生在1,62xx2442341211,2x中，分别是1,622x,C22x, 4xxx42

它们的和为124241，故选B．

1【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题. 解题时，首先将12x变形x1为12x，按二项式展开，分别得到展开式中的常数项，求和即可得结果.学

x4．（湖北省荆州市2018届高三质量检查（III））已知1xaxa0a1xa7x，若7644a0a1a70，则a3

A．−5

C．15

【答案】A

B．−20

D．35

15．（吉林省吉林市2018届高三第三次调研考试）若x的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则x展开式中含x项的系数是

A．462

C．792

【答案】D

B．462

D．792

2n1【解析】∵x的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n为偶数，展开式共有13项，则n12. xr1r122rT1Cx的展开式的通项公式为，令122r2，得r5. xr112x12n∴展开式中含x项的系数是1C12792，故选D．

255【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可；

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出

r值，最后求出其参数.

1．（2017新课标全国卷Ⅰ理

）(1A．15 C．30

1)(1x)6展开式中x2的系数为

2x

B．20 D．35 【答案】C

2．（2017新课标全国卷Ⅲ理

）xy2xy的展开式中xy的系数为

335A．80

C．40

B．40

D．80 【答案】C 【解析】xy2xyx2xyy2xy，

由2xy展开式的通项公式Tr1C52xr555r555y3r可得：

23当r3时，x2xy展开式中xy的系数为C52140；

33当r2时，y2xy展开式中xy的系数为C52180，

332352则xy的系数为804040. 故选C．

【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项. （2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.

33

3．（2015新课标全国卷I理

）(xxy)的展开式中，

xy的系数为

A．10

C．30

【答案】C

B．20 D．60 2552

4．（2016新课标全国卷Ⅰ理

）(2x【答案】10

【解析】(2xx)5的展开式中，x3的系数是

.（用数字填写答案）

x)的展开式的通项为C(2x)5r55r(x)2r5rCxr55r2r…，(r0，1，2，5)，令5324得r4，所以x3的系数是2C510. 【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项Tr1,再确定r的值,从而确定指定项系数. 5．（2015新课标全国卷II理

）(ax)(1x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则4a__________．

【答案】3

【解析】由已知得(1x)14x6x4xx，故(ax)(1x)的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，4ax，x，6x，x，其系数之和为4a4a1+6+1=32，解得a3．

【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．

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