2.2.1 综合法和分析法教学内容分析

第二章推理与证明

2.2 直接证明与间接证明1 一、教学目标：

知识与技能：

1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；

2、了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法：

多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神。

二、教学重点、难点

重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。

难点：分析法和综合法的思考过程、特点。

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式。

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导。

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线。

“抓两点”，即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点。

学法：突出探究、发现与交流。

四、教学过程

（一）温故知新

1.、已知

a1,a2R，且a1a21，则114，试请此结论推广猜想。

a1a2111....

n2）

a1a2an（答案：若a1,a2.......anR，且a1a2....an1，则2.、已知a,b,cR，abc1，求证：1119。

abc先完成证明

→ 讨论：证明过程有什么特点？

3、如何证明基本不等式abab(a0,b0)。

2

1

（讨论

→ 板演

→ 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

(二) 典例解析

例1、已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.

分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）

→

板演证明过程（注意等号的处理）

→ 讨论：证明形式的特点

提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.

框图表示：跟踪练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

要点：顺推证法；由因导果. bcaacbabc3。

abc例2、在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：△ABC是等边三角形.

分析：从那些已知，可以得到什么结论？

如何转化三角形中边角关系？

→ 板演证明过程

→ 讨论：证明过程的特点。

→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）

跟踪练习：

（1）A,B为锐角，且tanAtanB3tanAtanB3，求证：AB60（2）已知abc,

求证：。

（提示：算tan(AB)）

114.

abbcac3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q。

运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。

例3、求证3526。

讨论：能用综合法证明吗？

→ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

→板演证明过程

（注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？

→ 比较：两种证法

提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

框图表示：2122

要点：逆推证法；执果索因。

3133跟踪练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：(xy)(xy)。

先讨论方法

→ 分别运用分析法、综合法证明。

出示例4：见教材P48.

讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）

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出示例5：见教材P49.

讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

跟踪练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为截面积为()2，问题只需证：(lll，截面积为()2，周长为l的正方形边长为，224l4l2l)> ()2。

24小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知

P都成立；

五、小结

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径。

（框图示意）

六、作业

1、课时检测

七、课后记

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

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