一 比较法教案和学案内容

第二讲

证明不等式的基本方法

2.1 比较法

-河北省唐县第一中学

李新萍

教材分析:根据已知条件,运用不等式的性质和基本不等式进行不等式的证明，证明不等式的常用的方法有比较法、综合法、分析法等。本节课以介绍比较法(作差作商比较)证明不等式为主。

教学目标：

知识目标：1.掌握证明不等式的重要方法——比较法；

2.熟悉并掌握比较法证明不等式的基本步骤：作差（商）——变形——判断符号（与1比较）. 能力目标：综合运用不等式性质将知识转化为能力

思想目标：转化的思想

重点：比较法的基本步骤. 难点：常见的变形技巧. 教学方法：1.启发引导式. 2．类比的教学法进行讲练结合。

教具：多媒体、实物投影仪。

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教学过程：[核心必知] 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种

作差比较法

要证明a>b，只要证明a－b>0 作商比较法

若a，b>0，要证明a>b，只定义

作差→变形(因式分解，通分a要证明＞1 b

判断符号—作商→变形→判断与1的大小→得出结论

步骤

配方等)→判断符号→得出结论

[问题思考] 1．作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？

提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．

实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系. 2．作商比较法主要适用类型是什么？实质是什么？

提示：作商比较法主要适用于幂、根式形式的不等式证明．

实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与1的大小关系．

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例1如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为若在上述溶液中再添加mkg白糖,此时浓液的浓度

a.b

增加到am,将这个事实抽象为数学问题,并给出证明.bm师生互动抽象出数学问题：已知a, b, m都是正数，并且a

< b，求证：amabmb（学生回答，老师板书）

证：amab(am)a(bm)m(ba)

bmbb(bm)b(bm)∵a,b,m都是正数，并且a 0 , b



a > 0 ∴m(ba)0 b(bm)

即：amabmb

2ab，求证：a3b3a2bab思考一：已知a,b是正数，且

（学生思考，引导学生回答，老师书写证明过程）2证明：∵(a3b3)(a2bab

)=a2(ab)b2(ab)

2=(ab)(ab)

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=(a2b2)(ab)

∵a,b是正数，且ab,∴ab0,(ab)2>0 ∴(a3b3)(a2bab2)>0,∴a3b3a2bab2

学生思考回答，老师板书展示。

变式训练：（学生黑板展示，老师指导）

求证：(1)a＋b≥2(a－b－1)；

[精讲详析] 本题考查作差比较法的应用．解答本题的步骤为作差→因式分解→判断符号→得出结论．

(1)a＋b－2(a－b－1) ＝(a－1)＋(b＋1)≥0，

∴a＋b≥2(a－b－1)．

2）

22222222

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(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．

(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．

(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．

例3设a, b

 R，求证：aabb(ab)讨论回答，老师板演）

证：作商：aabb(ab)ab2+ab2abba（学生思考aab2bba2a()bab2

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当a = b时，(a)bab21

aba0,()2bab2当a > b > 0时，a1,b1

ab2

当b > a > 0∴aa时，

0a1,baba0,()2b1

b(ab)bab2

（其余证明部分布置课下作业）

作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。

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(1)当不等式的两边为幂或指数式时，可用作商比较法来证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜采用作差比较法时，也常用作商比较法．

a(2)在作商比较法中>1⇒a>b是不正确的，这与a、b的ba符号有关，比如若b>0，由>1，可得a>b，但若b<0，

ba则由>1得出的反而是a

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例4：

甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？

[精讲详析] 本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t1、t2，然后利用作差法比较t1，t2的大小即可．

设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2，依题意有：

t1t1ssm＋n＝s，＋＝t2. 222m2n2ss（m＋n）∴t1＝，t2＝. m＋n2mn2ss（m＋n）∴t1－t2＝－

m＋n2mns[4mn－（m＋n）]s（m－n）＝＝－. 2mn（m＋n）2mn（m＋n）其中s，m，n都是正数，且m≠n，

∴t1－t2＜0，即t1＜t2. 从而知甲比乙先到达指定地点．

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7

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应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．解答不等式问题，一般可分为如下步骤：①阅读理解材料；②建立数学模型；③讨论不等式关系；④作出问题结论．

课堂小结

通过本节学习，要求大家明确比较法是证明不等式最基本、最重要的方法，掌握比较法证明不等式的步骤：作差（商）——变形——判断符号（与1的大小）.

板书设计：

2.1：证明不等式的基本方法-比较法

1.作差比较法 例1 例2 .变式训练（1）（2）学生黑板展示

2.作商比较法 例3 学生讨论后提问学生黑板展示

3比较法的实际应用 例4 4.课堂小结

5.作业习题2.1

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