探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大教学设计和教学实录

2．3．2离散型随机变量的方差

时间：2018年4月25日上午第二节 班级：高二（2）班 授课教师：龙全丽

教学目标：

知识与技能：

离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：

学习方差公式“D(aX +b)=aD(X)”，以及“若随机变量X服从两点分布，则D(X)=p(1-p)，若X ～Β(n，p)，则D(X)=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差

。

情感、态度与价值观：

承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差. 教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题. 教具准备：多媒体、电子白板 授课类型：新授课 . 课时安排：1课时 . 教学过程：

一、复习回顾：

1

数学期望: 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为

2X P 则称E(X)

x1p1x2p2…x1

p1

x2

p2

…

…

xn pn

xnpn… 为X的数学期望，简称期望．

2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 . 3、两种特殊分布的数学期望

（1）若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p （2）若X～B(n,p) 则E(X)=np 4. 期望的一个性质: E(aX+b)=aE(X)+b 二、讲解新课：

探究：要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，

第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为

X1 P 5 0.03 6 0.09 7 0.20 8 0.31 9 0.27 10 0.10 1

第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为

X1 P 5 0.01 6 0.05 7 0.20 8 0.41 9 0.33 应派哪位同学参赛? 由问题引出散型随机变量的定义：

1. 方差: 对于离散型随机变量X，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，那么,

D（X）(xiE（X）)2pi

i1称为随机变量X的均方差，简称为方差，式中的E(X)是随机变量X的期望．

n2. 标准差:D(X)的算术平方根3.其它：

D(X)叫做随机变量X的标准差．

⑴随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量X的方差、标准差也是随机变量X的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 回到探究，计算可得D(X1)1.5 D(X2)0.82

因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右. 思考：如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？

三、例题讲解：

例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷骰子所得点数X 的分布列为

X P 从而

1 2 3

4 5 6 1

6161

61

61

61

6111111E（X）1234563.5666666

1111（X）(13.5)2(23.5)2(33.5)2(43.5)2

D6666

11

(53.5)2(63.5)22.92D(X)D(X)1.7166

2

由本题可总结出求离散型随机变量X的方差、标准差的步骤：

①理解X的意义，写出X可能取的全部值；

②求X取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出E(X)；

④根据方差、标准差的定义求出D(X)、D(X). 例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

甲单位不同职位月工资X1/元

获得相应职位的概率P1

乙单位不同职位月工资X2/元

获得相应职位的概率P2

1000 1400 1800 2000 0.4 0.3 0.2 0.1 1200 1400 1600 1800 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得

E(X1 )= 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 , D(X1 )= (1200-1400)

×0. 4 + (1400-1400 ) ×0.3 + (1600 -1400 )×0.2+(1800-1400) ×0. 1 = 40 000 ; E(X2 )=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 , D(X2

)= (1000-1400)×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)×0.2 + (2200-1400 )×0.l = 160000 . 因为E(X1 )=E(X2), D(X1 ) < D(X2),所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．

四、课堂练习：

1、在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分的方差是多少？

解;设一次罚球得分为X,X服从两点分布即：

Ｘ

Ｐ

0 0.3 1 0.7 2222222D(X)＝p(1-p)＝0.7×0.3＝0.21 探究：若X服从两点分布即：

Ｘ

Ｐ

0 1-p 1 p 则随机变量X的方差是多少？

3

结论：D(X)=p(1-p) 补充结论：若X～B(n,p) 则D(X)=np(1-p) （证明过程学生课外完成）

2、探究D(aXb)?

五、课堂小结

：

1、方差计算公式

D（X）(xiE（X）)2pi

i1n2、求离散型随机变量X的方差、标准差的步骤：

①理解X的意义，写出X可能取的全部值；

②求X取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出E(X)；

④根据方差、标准差的定义求出D(X)、D(X). 3、两个特殊分布的方差公式

（1）若随机变量X服从两点分布，则D(X)=p(1-p) （2）若X～B(n,p) 则D(X)=np(1-p) 4、方差的性质

D(aXb)a2D（X）5、对于两个随机变量X1和X2，在E（X1）和E（X2）相等或很接近时，比较D（X1）和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要.

D（X2）六、课后作业： 课本68页A组第1、5题 七、板书设计（略） . 八、教学反思：

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