三 反证法与放缩法优质课教案设计

2.3

反证法与放缩法

第二课时

放缩法应用

教学目标：

1．通过实例，感受放缩法在证明数列不等式应用。

2．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

教学重点：

掌握证明不等式的放缩技巧。

教学难点：放缩法在数列不等式证明的应用。

教学过程: 高考中利用放缩方法证明不等式，文理科都有涉及，但理科却常常出现，且技巧性更强，多是在后三题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查同学们思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力。同学们平常学习中要重视不等式放缩技巧的应用积累，关注数列求和与p-级数相关的放缩问题。

一、

放缩后转化为等比数列（等差数列）。

例1(2014·新课标Ⅱ理，17)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1. 1(1)证明{an＋2}是等比数列，并求{an}的通项公式；

1113(2)证明：a＋a＋…＋a<2. 12n

[解析]

(1)∵a1＝1，an＋1＝3an＋1，n∈N*. 111∴an＋1＋2＝3an＋1＋2＝3(an＋2)．

113∴{an＋2}是首项为a1＋2＝2，公比为3的等比数列．

3n－1113n2(2)由(1)知，an＋2＝2，∴an＝2，a＝n. n3－11121＝1，当n>1时，＝n

3123n11－3n313＝＝(1－123n)<2. 1－3

11113所以，a＋a＋a＋…＋a<2，n∈N*. 123n二、

放缩后裂项迭加相消

31111例2

求证：2－<1＋22＋…＋n2<2－n(n∈N*，且n≥2)．

n＋1分析：欲证的式子中间是一个和的形式，但我们还不能利用求和公式或其他办法求，可以将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，最后证得该不等式成立．

证明：∵k(k＋1)>k2>k(k－1)．

111∴<2<. kk＋kkk－11111即－<2<－(k∈N*，且k≥2)，

kk＋1kk－1k分别令k＝2,3，…，n得：

1111－<2<1－，

232211111－<<－，

343223…，

11111－<2<－. nn＋1nn－1n111111111111将它们相加得：－＋－＋…＋－<2＋2＋…＋2<1－＋－＋…2334nn＋123n22311＋－. n－1n111111即－<2＋2＋…＋2<1－. 2n＋123nn311111∴－<1＋2＋2＋…＋2<2－(n∈N*，且n≥2)．

2n＋123nn技巧积累: (1)1111

（最经典的裂项）

n(nk)knnk144112(2)2

（跨度更小的放缩）

n4n24n212n12n1

(3)

练习：【2013高考广东卷.理.19】 (本小题满分14分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1,2Sn12an1n2n,n∈N*. n33

(1)求a2的值；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n,有11a1a217. an4【解析】(1)依题意,2S1＝a2－又S1＝a1＝1,所以a2＝4. (2)当n≥2时,2Sn＝nan＋1－2Sn－1＝(n－1)an－12－1－, 331322n－n－n, 3312(n－1)3－(n－1)2－(n－1), 33两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1), 即12(3n2－3n＋1)－(2n－1)－, 33an1anaa1.又211, n1n21a1an1,公差为1的等差数列, 是首项为1n故数列所以

an＝1＋(n－1)×1＝n.所以an＝n2. n三、

放缩后迭乘

例3．a11,an1a)

求a2,a3

1(14an124an)(nN*). 16b)

令bn124an，求数列{bn}的通项公式

c)

已知f(n)6an13an，求证：f(1)f(2)f(3)...f(n)

解：（1）（2）略

1

221n1n1()()

342313231 f(n)nn2nn11n

42424111211(1n)(1n1)1nn2n11n1444444

 1n11141n11n11n1444 由（2）得an

14nf(n)11n14

11111121n1n44...441

f(1)f(2)...f(n)1111112244n1四、部分放缩（放缩“度”的调整问题）

1求证: 解析: 1114

n131321321711111111113132132n114732n112832232n1

1111447484



18484728312111练习：设an1aaa,a2.求证：an2.

23n111111

解析: an1aaa1222.

23n23n2

又kkkk(k1),k2（只将其中一个k变成k1，进行部分放缩），1111，

k2k(k1)k1k于是an1课时小结：

1111111111(1)()()22.

222223n1nn23n常用放缩技巧：1、放缩后转化为等比数列（等差数列）2、放缩后裂项迭加相消3、放缩后迭乘4、部分放缩

放缩的目的：1将不能求和的数列化成能能求和的数列，2化无限为有限