3.1.2 复数的几何意义教学设计案例

复数的几何意义

[学习目标]

1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法．

知识点一

复平面的概念和复数的几何意义

1．复平面的概念

根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定．因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应．

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

2．复数的几何意义

按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义．

3．复数集与复平面中的向量的一一对应关系

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．这样，我们还可以用平面向量来表示复数．

→如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量OZ→由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ唯一确定．因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi→平面向量OZ，这是复数的另一种几何意义．

思考

(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？

(2)象限内的点与复数有何对应关系？

答案

(1)不是．

(2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；

第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；

第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；

第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负．

知识点二

复数的模

→1．如图所示，向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，

那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值)．由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．

2．复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则

z1|z1|(1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z2＝|z2|(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到)．

n*(2)|zn1|＝|z1|(n∈N)．

(3)||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线．

(4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共钱．

思考

复数的模的几何意义是什么？

答案

复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：

①满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部；

②满足条件|z－z0|＝r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|z－z0|＜r表示圆的内部，|z－z0|＞r表示圆的外部．

题型一

复数与复平面内的点

例1

在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．

解

复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. (1)由题意得m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或m＝4. 2m－2m－8＜0，(2)由题意，2∴2

(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，

∴2

2(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝. 5反思与感悟

复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．

跟踪训练1

实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1)对应的点在x轴上方；

(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．

解

(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．

(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，[来源:Z§xx§k.Com]

55得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，

22复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．

题型二

复数的模的几何意义

例2

设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形．

(1)|z|＝2；

(2)1≤|z|≤2. 解

(1)方法一

|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．

方法二

设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．

|z|≤2，(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组

|z|≥1.

不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合．

不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合．

这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．

反思与感悟

解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决．[来源学_科_网Z_X_X_K][来源:Z&xx&k.Com]

跟踪训练2

若复数z满足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为________．

答案

2π

解析

设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝x2＋y－12，由|z－i|≤2知x2＋y－12≤2，x2＋(y－1)2≤2.∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，2

为半径的圆面(含边界)，

∴所求图形的面积为S＝2π.故填2π.

题型三

复数的模及其应用

例3

已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．

解

方法一

∵z＝3＋ai(a∈R)，

∴|z|＝32＋a2，

由已知得32＋a2<42，

∴a2<7，∴a∈(－7，7)．

方法二

利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，

由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，

所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．

由图可知：－7

利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答本题．

跟踪训练3

已知复数|z|＝1，求复数3＋4i＋z的模的最大值及最小值．

解

令ω＝3＋4i＋z，则z＝ω－(3＋4i)．

∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，

∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数ωA的模最大，为32＋42＋1＝6；圆上的点B所对应的复数ωB的模最小，为32＋42－1＝4，

∴复数3＋4i＋z的模的最大值和最小值分别为6和4.

复数与函数的综合应用

对于求复数的题目，一般的解题思路是：先设出复数的代数形式，如z＝a＋bi(a，b∈R)，利用题目给出的条件，结合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的代数形式写出来．

例4

已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复数z. 分析

题目中出现了f(z)与f(－z)的关系式，可由f(z)得到f(－z)的另一种关系式．要求复数z，只需设z＝a＋bi(a，b∈R)，求出a，b即可．利用复数相等的充要条件即可列方程组求

解．

解

设复数z＝a＋bi(a，b∈R)．

∵f(z)＝|2＋z|－z，∴f(－z)＝|2－z|＋z. 又∵f(－z)＝3＋5i，∴|2－z|＋z＝3＋5i，

∴|2－(a＋bi)|＋a＋bi＝3＋5i. 即2－a2＋－b2＋a＋bi＝3＋5i. 根据复数相等的充要条件，

2－a2＋－b2＋a＝3，得

b＝5，a＝－10，解得

b＝5.

∴复数z＝－10＋5i.

1．在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

答案

B 解析

∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限．

2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(

) A．4＋8i

C．2＋4i

答案

C 解析

由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3)．由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i. 3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，那么实数a的取值范围是________．

答案

(－1,1)[来源学科网Z.X.X.K]B．第二象限

D．第四象限

B．8＋2i D．4＋i

解析

因为|z1|＝a2＋4，|z2|＝－22＋12＝5. 又因|z1|＜|z2|，所以a2＋4＜5，解得－1＜a＜1. 4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．

答案

9 解析

∵z＝(m－3)＋2mi表示的点在直线y＝x上，

∴m－3＝2m，解得m＝9. 5．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值．

解

如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|max＝22＋1.

1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．

2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．

一、选择题

1．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在(

) A．第一象限

C．第三象限

答案

B 解析

∵x＝3＋4i，∴|x|＝32＋42＝5，

∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z在复平面上的对应点在第二象限．

－B．第二象限

D．第四象限

2.设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝(

) A.－1＋2i

C.3＋2i

答案

C －

B.1－2i D.3－2i 解析

由z＋i＝3－i，得z＝3－2i，∴z＝3＋2i，故选C.

→3．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称→点为B，则向量OB对应的复数为(

) A．－2－i

C．1＋2i

B．－2＋i D．－1＋2i

答案

B →解析

∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量OB对应的复数为－2＋i. 4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是(

) A．1个圆

C．2个点

答案

A 解析

由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，

即|z|＝3或|z|＝－1. ∵|z|≥0，∴|z|＝3. ∴复数z对应的轨迹是1个圆．

3π5π5．若θ∈4，4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在(

) A．第一象限

C．第三象限

答案

B 3π5π解析

∵θ∈4，4，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B. 6．设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

答案

B ππ解析

因A、B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B＞，即A＞－B，sin A＞cos B．cos B22sin A－tan A＝cos B－＜cos B－sin A＜0，又tan B＞0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二cos A象限，故选B. 二、填空题

7．设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是__________．

答案

15 B．第二象限

D．第四象限

B．线段

D．2个圆

解析

由题意知，复数z＝x＋yi(x，y∈R)的实部x和虚部y满足方程x－2y＋1＝0，

故log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，

m2－3m－3则log2＝－1，

m－32m2－3m－31∴＝，∴m＝±15. 2m－32

2m－3m－3＞0，∵

m－3＞0，

3＋21∴m＞，

2∴m＝15. 8．若复数z＝5cos α－4i(i为虚数单位，－π＜α＜0)在复平面上的对应点在直线y＝x－1上，则sin α＝________. 4答案

－

5解析

∵复数z＝5cos α－4i在复平面上的对应点在直线y＝x－1上，∴－4＝5cos α－1, 即3cos α＝－. 5又∵－π＜α＜0，∴sin α＝－1－cos2α＝－34－2＝－. 1－559．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是________．

答案

(1，5) 解析

由题意可知z＝a＋i.根据复数的模的定义，得|z|＝a2＋1，而0＜a＜2，故1＜|z|＜5. 1110．复数z＝log3＋ilog3

对应的点位于复平面内的第________象限．

22答案

三

11解析

log3<0，log3

<0，

2211∴z＝log3＋ilog3

对应的点位于复平面内的第三象限．

22三、解答题

11．设复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时：

(1)z为实数；

(2)z对应的点位于复平面的第二象限．

2m－m－6＝0，解

(1)由题意得2

m＋2m－14＞0，

解得m＝3(m＝－2舍去)．

故当m＝3时，z是实数．

2lgm＋2m－14＜0，(2)由题意得2

m－m－6＞0，

0＜m2＋2m－14＜1，即2

m－m－6＞0.

m＋2m－14＞0，2即m＋2m－15＜0，m2－m－6＞0，2

m＜－1－15或m＞－1＋15，得－5＜m＜3，m＜－2或m＞3.解得－5＜m＜－1－15.

故当－5＜m＜－1－15时，z对应的点位于复平面内的第二象限．

12．已知z1＝－3＋4i，|z|＝1，求|z－z1|的最大值和最小值．

解

如图，|z|＝1表示复数z对应的点在以(0,0)为圆心，1为半径的圆上，而z1在坐标系中的对应点的坐标为(－3,4)，∴|z－z1|可看作是点(－3,4)到圆上的点的距离．

由图可知，点(－3,4)到圆心(即原点)的距离为－32＋42＝5，故|z－z1|max＝5＋1＝6，|z－z1|min＝5－1＝4. 13．设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|＜1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹．

解

∵z∈C，|z|∈R，∴1－|z|∈R. ∵||z|－1|＝1－|z|，∴1－|z|≥0，即|z|≤1，∴A＝{z||z|≤1，z∈C}．

又∵B＝{z||z|＜1，z∈C}，∴∁UB＝{z||z|≥1，z∈C}．

∵z∈A∩(∁UB)，∴z∈A且z∈∁UB，

|z|≤1，∴∴|z|＝1. |z|≥1，[来源:Zxxk.Com]

由复数的模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．