阅读与思考 错在哪儿教学设计一等奖

基本不等式及其应用

一、知识要点

1.基本不等式:

(1)基本不等式成立的条件：____________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号. 2.几个重要的不等式

ba(1)a2＋b2≥________(a，b∈R).

(2)＋≥______(a，b同号). aba＋ba＋b2a＋b2(3)ab≤ (a，b∈R).

(4)≥222 (a，b∈R). 3.算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________. 4.利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最________值是________.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当_________时，xy有最______值是________.(简记：和定积最大) [难点正本

疑点清源] 1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误. 对于公式a＋b≥2ab，ab≤现了ab和a＋b的转化关系. 2.运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是a2＋b2a＋ba＋b2ab≤；≥ab

(a，b>0)逆用就是ab≤222 (a，b>0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. a＋b22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体22二、基础自测

21.若x>0，则x＋的最小值为__22______. x2.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值是___81_____. xy＋3.(2010·山东)已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为__3______. 344.(2011·陕西)设0

(

B

) a＋ba＋ba＋b

A.a

B.a

C.a

222a＋bD.ab

25.圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0 (a，b∈R)对称，则ab的取值范围是

(

A

) 1－∞，

A.4110，

C.－，0

B.441－∞，

D.4

三、例题讲解

题型一

利用基本不等式判断命题真假

2ab2例1．设a、b是正实数，以下不等式：①ab>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2aba＋b恒成立的序号为

(

D

) A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

变式

设a>0，b>0，下列不等式中不成立的是

(D

) baA.＋≥2

abb2a2B．a＋b≥2ab

C.＋≥a＋b

ab22112D.＋≥2＋

aba＋b变式

设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是

(

B

) ．．．．11A．(a＋b)(＋)≥4

B．a3＋b3≥2ab

C．a2＋b2＋2≥2a＋2b

D.|a－b|≥a－b

aba＋b变式

已知a，b∈R，则ab，，2＋a2＋b22ab，的大小顺序是(

C

) 2a＋ba2＋b2a＋b≥ab≥

22a2＋b2≥ab

2a＋bA.≥ab≥2a2＋b22ab2ab≥

B.≥2a＋ba＋ba2＋b2a＋ba＋b2ab2abC.≥≥ab≥

D.≥≥222a＋ba＋b题型二

利用基本不等式证明简单不等式

yzxzxy例2．已知x>0，y>0，z>0.求证：x＋xy＋yz＋z≥8. 探究提高

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题. 证明

∵x>0，y>0，z>0，

yz2yz∴＋≥>0，

xxxxz2xz＋≥>0，

yyyxy2xy＋≥>0，

zzzyzxzxy∴x＋xy＋yz＋z

8yz·xz·xy≥＝8. xyz当且仅当x＝y＝z时等号成立.

bcacaba2b2c2变式

若a>0，b>0，c>0，试证：(1)＋＋≥a＋b＋c；(2)＋＋≥a＋b＋c. abcbca证明

(1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，

bcac∴＋≥2 abbcac·＝2c，

abacababbc同理＋≥2a，＋≥2b，

bccabcacab∴2a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，

bcacab即＋＋≥a＋b＋c. abca2(2)∵a>0，b>0，c>0，∴＋b≥2a，

bb2同理＋c≥2b，

cc2＋a≥2c，

a

①

②

③

a2b2c2a2b2c2①＋②＋③得＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，即＋＋≥a＋b＋c. bcabca111变式

已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9. abc111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c证明：＋＋＝＋＋

abcabcbacacb＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋) abacbc1≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．

3题型三

利用基本不等式求最值

4例3．

(1)已知x<0，求f(x)＝2＋＋x的最大值；

x1(2)已知x>1，求f(x)＝x＋的最小值；

x－12(3)已知00，b>0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；

49(5)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求x＋y的最小值．

探究提高

利用基本不等式求最值时，必须注意三点：“一正，二定，三相等”，缺一不可.如果项是负数，可转化为正数后解决，当和(或积)不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和(或积)化为定值. 变式

(1)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是

A.3

B.4

9C.

2

11D.

2

(

B

) 11（2）(2009·天津卷理)设a＞0，b＞0.若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( B

) ab

1A．8

B．4

C．1

D.

416

(3)已知a>b>0，则a2＋的最小值是___16_____. ba－b(4)设0

题型四

基本不等式的实际应用

例3

围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用

的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设

利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). (1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用. 探究提高

(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解. (2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解. (1)设矩形的另一边长为a m，

360则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝，

x3602所以y＝225x＋－360 (x>2). x3602(2)∵x>2，∴225x＋≥2 x3602225x×＝10 800. x3602∴y＝225x＋－360≥10 440. x3602当且仅当225x＝时，等号成立. x即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元.

变式

如图所示，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2. (1)试用a，b表示S；

(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？

(1)∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a>0，b>0，

∴ab＝28 800，

①

又设上栏框内高度为h cm，下栏框内高度为2h cm，

b－18则3h＋18＝b，∴h＝，

3∴透光部分的面积

2b－18b－18S＝(a－18)×＋(a－12)×

33＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288 ＝28 800－2(9a＋8b)＋288 ＝29 088－2(9a＋8b). (2)∵9a＋8b≥29a·8b

＝29×8×28 800＝2 880，

9当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝a，

8代入①式得，a＝160，从而b＝180，

即当a＝160，b＝180时，S取得最大值

课时作业

111.已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是

abA.2

B.22

C.4

D.5 (

C

)

(

C

) 112.设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则＋的最大值为 xyA.2

3B.

2

C.1

1D.

2

2D.

3

3.已知0

1A.

3

1B.

2

3C.

4

(

B

) 214.已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(

D

) xyA.m≥4或m≤－2

C.－2

B.m≥2或m≤－4 D.－4

(

B

) 115.(2010·四川)设a＞b＞c＞0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是

abaa－bA.2

B.4

C.25

D.5 136．已知a>0，b>0，＋＝1，则a＋2b的最小值为

(

A

) abA．7＋26

B．23

C．7＋23

D．14 7．x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为

(A

) A．7

3B．39

C．1＋22

D．5 18．(2009·九江模拟)函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(0,3)，则

x－2x＋1

(

) 7A．f(x)有最大值

4

B．f(x)有最小值－1 D．f(x)有最小值1 C．f(x)有最大值1

解析：∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)，

∴(x－1)2∈[0,4)，

1∴f(x)＝(x－1)2＋－1 x－12≥2 1x－12·－1＝2－1＝1. x－121当且仅当(x－1)2＝，且x∈(0,3)，

x－12即x＝2时取等号，

∴当x＝2时，函数f(x)有最小值1. 答案：D y29.设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是_____3___. xz11－10..函数y＝a1x (a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0 (mn>0)上，则＋的最小mn值为___4_____. 11.已知圆C：x2＋y2＋bx＋ay－3＝0 (a，b为正实数)上任意一点关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点都在133圆C上，则＋的最小值为_____1＋___. ab2x2112．函数y＝4(x≠0)的最大值为____________，此时x的值为___±3_____．

6x＋9112x2＋2·2＋4y的最小值为___9_____. 13.(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则yx14．已知：x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0，

(1)求xy的最小值．

(2)求x＋y的最小值．

解：(1)由x＋y－3xy＋5＝0得x＋y＋5＝3xy. ∴2xy＋5≤x＋y＋5＝3xy. ∴3xy－2xy－5≥0，

∴(xy＋1)(3xy－5)≥0，

525∴xy≥，即xy≥，等号成立的条件是x＝y. 39525此时x＝y＝，故xy的最小值是. 39x＋y2(2)解法一：由x＋y＋5＝3xy≤3·()

2

3＝(x＋y)2，

43∴(x＋y)2－(x＋y)－5≥0，

4即3(x＋y)2－4(x＋y)－20≥0，

即[(x＋y)＋2][3(x＋y)－10]≥0，

10∴x＋y≥，

35等号成立的条件是x＝y，即x＝y＝时取得．

310故x＋y的最小值为. 3解法二：由(1)知x＋y＋5＝3xy，且(xy)min＝∴3(xy)min＝252510，∴(x＋y)min＝－5＝，

33325，

95此时x＝y＝.

315.某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型区域.现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.

(1)设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；

(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区. (1)设DQ＝y，

200－x2则x＋4xy＝200，y＝. 4x21400 000S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2＝38 000＋4 000x2＋

(0

2x400 000当且仅当4 000x2＝，即x＝10时，

x2Smin＝118 000(元)，

即计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区. 11.8万元才能建造这个休闲小区.