小结名师教学实录

基本不等式小结

教学过程

用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式abab.以数学知识为2载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养，这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课

教学过程中，仍应强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在解决实际问题的过程中，既要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，又会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理.从这个角度来说，本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.

1三维目标

（1）知识与技能

①创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件；

②学会利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式abab；从不2等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；

③构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；让学生探究用基本不等式解决实际问题；通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱. （2）过程与方法

①采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

②教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

③将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.

2教学重点

（1）创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；从不同角度探索基本不等式的证明过程；从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路

（2）利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式abab，从不等式2的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路,；

（3）构建基本不等式解决函数的值域、最值问题，让学生探究用基本不等式解决实际问题；通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱。

3教学难点

（1）对基本不等式从不同角度的探索证明；通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路；

（2）利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式abab；从不等式2的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.

（3）让学生探究用基本不等式解决实际问题；基本不等式应用时等号成立条件的考查

导入新课

师

前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用.通过数与形的结合及证明应用，我们

进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0、b＞0.在应用的过程中，我们对基本不等式abab的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.本节课，我们将对基本不等式展2

开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用推进新课

师

已知abab，若ab为常数k，那么a+b的值如何变化？

2生

当且仅当a＝b时，a＋b就有最小值为

师

若a＋b为常数s，那么ab的值如何变化？

生

当且仅当a＝b时，ab就有最大值11s（或ab有最大值s2）24

师

同学们回答得非常好，对变量与定量理解的很清楚.由上面的研究可知，解决有关最值问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积

(此时，老师用投影仪给出本节课的第一组问题

最值练习：解答下列各题：

3（x＞0）的最小值

x1(２)求函数y＝x2＋4（x＞0）的最小值

x3(３)求函数y＝3x2－2x3（0＜x＜）的最大值2(１)求函数y＝2x2＋(４)求函数y＝x（1－x2）（0＜x＜1）的最大值2

b2(５)设a＞0，b＞0，且a＋＝1，求a1b2的最大值2［合作探究］

师

我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值

（留五分钟的时间让学生思考，合作交流，此处留的时间可以更长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生.老师根据学生的思考情况作个别交流）

（根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再一次作点评）

解：(1)∵x＞0,∴2x2＞0，3333＞0.∴y＝2x2＋＝2x

2＋33xx2x2x92

当且仅当2x

2＝3339，即x3时等号成立.故当x3时，y有最小值332x442

2x11x2x2114，即x＝±62时，等号成立.

(2) yx4433，当且仅当2x22x4x2故当x＝±62时，y有最小值3314

(3)∵0＜x＜3,∴3－2x＞2

∴y＝x2（3－2x）＝x·x·（3－2x）≤（等号成立

xx32x3）＝1.当且仅当x＝3－2x,即x＝1时，34112·2x

2（1－x2）（1－x2）≤

()3＝.22327(4)∵0＜x＜1,∴1－x2＞0.∴y

2＝x

2（1－x

2）2＝当且仅当2x2＝1－x

2,即x433时，等号成立.∴当x时，y

2有最大值. 2733由题意可知y＞0，故当x323时，y有最大值39

b21b2221b2322(5)∵a＞0，b＞0，且a

＋＝1，∴a1b2a

(a+

+)=, 22242222321b2当且仅当a，b时取“＝,即a2222故当a

3232，b时，a1+b2有最大值224

（学生对等号成立的条件往往没有详细说明）

［合作探究］

师

若不考虑等号成立的条件，最值是否一定取到呢？

生

不一定.应当考虑等号成立的条件

师

用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考察下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(２)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(３)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.请同学们看下面几例的解法.若对，请说明理由；若不对，请改正

(此时，老师用投影仪给出本节课的第二组问题

(１)∵y＝x＋1≥2，∴y的最小值为x

生

解答是错误的，原因是，当x＜0时，就不能运用公式.事实上，当x＜0时，y＜0，故最小值不可能为2.此时，函数的值域为(-∞,-2］∪［

师

这位同学回答得非常好.请你说得再详细一点，让大家都能清楚

（此时，这位同学的学习热情很浓，探究问题的兴趣很强）

生

当x＜0时，y＝x＋11＝-(-x-)≤-xx

师

很好.请坐下.感谢你为大家讲解(２)∵y＝3x2＋1122332，∴y的最小值为332＝2x＋x

＋44xx

生

解答是错误的，其错误的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x

2＝x2＝1，显然这样的x不存在，故y没有最小值x4

2

师

很好x(1xx2)21x22(3)∵y＝x（1－x＋x

）≤［］＝（），当且仅当x＝1－x＋x2，即x22＝1时等号成立.∴当x＝1时，y有最大值为

1x21x2生

解答是错误的，此种解法的错误在于不是定值.显然当x越大时，也越大，22故y无最大值

师

很好.在求最值时，对定量与变量要理解清楚

师

下面我们再用基本不等式来解决实际应用题

(此时，老师用投影仪给出本节课第三组问题

［课堂练习］

（让学生独立思考，根据学生完成的典型情况，找两位学生到黑板板演，以便起到示范功能，同时教师再一次作点评）

1.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m.由xyxy，2可得x+y≥2100，等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此这个矩形的长、宽各都为１０

m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是４０

2.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m.则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.由xyxy189，可得xy≤81.等号当且仅当x=y=10时成立.因此这个矩形菜园的长、22宽各都为９m时，菜园的面积最大，最大面积是８１m2

（学生完成情况很好，要注意对答的要求）

师

下面有的同学用函数也解决了这两个问题.很好，这说明同学们对所学过的知识、方法能够在不同的问题中灵活运用，解决问题的能力很强.由于时间关系，用函数解决这两个问题的方法我们就不交流了，让同学们课后去完成

［例题精析］

【例】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为

3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

分析：水池呈长方体形，池底长、宽没有确定. 设池底长、宽分别为x m、y m.水池总造价为z元

根据题意有z=150×4800+120(2×３x+2×3y3

=240 000+720(x+y

由容积为4 800 m3，可得xy=1 600z≥ 297 600.等号当且仅当x=y=40时成立.所以将水池的底面设计为长为４０

m的正方形时水池总造价最低，最低总造价是２９７

６００元

课堂小结

师

通过本节课的学习，同学们感受到基本不等式的作用了吗？

生

基本不等式不但可以用于本函数的值域、最值，更重要的是可以解决与最值有关的实际问题

师

那么，大家觉得数学这门学科是否值得去研究学习呢？

（学生齐声：太值得了，太有用了）

师

数学这门学科，它是来源于生活，又作用于生活.也是一门基础科学，同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用.作为本节课的学习任务，同学们还应当掌握解决实际应用题的一般程序，即审题，建模，研究模，再回到实际问题验证作答

当堂检测

一、选择题

a＋b2ab＋1．a、b∈R，则，ab，三个数的大小顺序是(

) 2a＋ba＋ba＋b2aba＋b2ab2ab2aba＋bA.≤ab≤

B.ab≤≤

C.≤ab≤

D.ab≤≤

22a＋b2a＋ba＋ba＋b22．(2012·浙江文，9)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(

) 2428A.

B.

C．5

D．6 553．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(

) A．(－∞，－1]

B．(－∞，0)∪(1，＋∞)

C．[3，＋∞)

D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

ab4．设a、b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.上ba述三个式子恒成立的有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

5．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则(

) A．a11＝b11

B．a11>b11

C．a11

D．a11≥b11

6．设a、b是正实数，给出以下不等式：

2ab2①ab>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2，其中恒成立的序号为(

) aba＋bA．①③

B．①④

C．②③

D．②④

二、填空题

7．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．

238．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．

xy

三、解答题

9．已知a、b、c∈R，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．

参考答案

a＋b2ab1．C[解析]

取a＝2，b＝8，则＝5，ab＝4，＝3.2，∴选C. 2a＋ba＋bab2ab比较如下：已知≥ab，又ab－＝2a＋b2ababa＋b∴ab≥.也可作商比较＝≥1.

2ab2aba＋ba＋b2．C[解析]

本题考查了均值不等式的应用．

13133x12y94由x＋3y＝5xy得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(＋)＝＋＋＋≥25y5x5y5x5y5x5512133x12y＝＋＝5，当且仅当＝时，得到最小值5. 555y5x113．D[解析]

设等比数列的公比为x(x≠0)，则有S3＝x＋1＋(x≠0)，∵当x>0时，x＋≥2；xx11x<0时，x＋≤－2，∴S3＝x＋1＋的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. xx4．

B[解析]

①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋abab1)2≥0恒成立；＋>2或＋<－2，故选B. babaa1＋a21b1＋b215．

D

[解析]

∵an>0，bn>0，a1＝b1，a21＝b21，∴a11＝＝≥b1b21＝b11，等22号成立时，b1＝b21，即此时{an}，{bn}均为常数列，故选D. 6．

D[解析]

∵a、b∈R＋时，a＋b≥2ab，∴2除A、B；

∵ab＋≥22>2恒成立，故选D. ab47．

1 760[解析]

设水池池底的一边长为

x m，则另一边长为

m，则总造价为：

x2ab2ab≤1，∴≤ab，∴①不恒成立，排a＋ba＋b3x12y13·＋5y5x5a＋b－2aba＋b＝aba－ba＋b2≥0

2x＋2×4×2＝480＋320x＋4≥480＋320×2y＝480＋80×xx4x×＝1 760. x4当且仅当x＝

即x＝2时，y取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．

x238．

6[解析]

＋≥2xy6，∴2xy6≤2，∴xy≥6.

xy

a＋b9．[解析]

∵≤2同理b2＋c2≥a2＋b2a＋b2，∴a2＋b2≥＝(a＋b)(a，b∈R等号在a＝b时成立)．

22222(b＋c)(等号在b＝c时成立)．a2＋c2≥(a＋c)(等号在a＝c时成立)．

22222(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c) 222三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥＝2(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立)．

布置作业

课本第114页，习题3.4,Ａ组第2、４题. 板书设计

基本不等式abab的应用（二）

2方法归纳

复习引入

课堂练习

基本不等式

例

abab

方法引导

小结

2实例剖析（知识方法应用）

示范解题