复习参考题第一课时教学设计

简单的线性规划问题（第1课时）教学设计

天津市第四十二中学

李艳玲

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时，主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法. 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出.简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力. 二、学生学情分析

本节课是在学生已经学习了不等式，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域的基础上，能初步运用数学关系式表示简单的二元线性规划问题的限制条件，将实际问题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难．

三、设计思想

本课以学生为主体，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力. 四、教学目标

1.知识与技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；能根据条件建立线性目标函数；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题. 2.过程与方法：培养学生学会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型.在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，经历知识的形成过程.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想. 3.情感、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神. 五、教学重点与难点

教学重点：线性规划问题的图解法. 教学难点：图解法及寻求线性规划问题的最优解. 六、教学过程

导入新课

师

前面我们学习了二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.

（生回答）

推进新课

师

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.

例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？

x2y8,4x16,生

由已知条件可得二元一次不等式组：4y12,

x0,y0.师

如何将上述不等式组表示成平面上的区域？

生

（板演）

师

对照课本98页图3.3-9，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x、y才有意义.

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？生

则z=2x+3y.

师

这样，上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？

［教师精讲］

[来源:Z。xx。k.Com][来源:Z&xx&k.Com]师

把z=2x+3y变形为y2121xz,这是斜率为，在y轴上的截距为z的直线.当z3333变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.

生

当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）

师

由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直211xz，这说明，截距z可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线33321zyxz与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距最大时，z33321取最大值，因此，问题转化为当直线yxz与不等式组确定的区域有公共点时，可33z以在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大.

321由图可以看出，当直线yxz经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，33z14截距的值最大，最大值为.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，33线y工厂可获得最大利润14万元.

师

在上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称为线性约束条件.我们把要求最大值的函数z=2x+y称为目标函数.由于z=2x+y是关于x、y的一次解析式，所以又称为线性目标函数.目标函数中的变量要满足的线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示.一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，其中，使目标函数取得最大

值和最小值的可行解叫做这个问题的最优解.

［巩固提升］

例：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg的脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07kg的脂肪，花费21元.为了满足营养学家的指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg? 师

分析：将已知数据列成下表：

食物/kg A B 碳水化合物/kg 0.105 0.105 蛋白质/kg 0.07 0.14 脂肪/kg 0.14 0.07 若设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，如何列式？

0.105x0.105y0.075,0.07x0.14y0.06,生

由题设条件列出约束条件0.14x0.07y0.06,①

x0,y0,其目标函数z=28x+21y.

7x7y5,7x14y6,二元一次不等式组①等价于14x7y6,②

x0,y0.师

作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.

生

考虑z=28x+21y,将它变形为y线.4z4x,这是斜率为－,随z变化的一族平行直3283zz是直线在y轴上的截距，当取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交，2828即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.

由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距z最小，即z最小.

28解方程组7x7y5,14得点M(,)，因此，当7714x7y6

x14,y时，z=28x+21y取最小值，最小值为16.

77由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.

［巩固练习］

解下列线性规划问题：

yx,（1）求z=2x+y的最大值，使x、y满足约束条件xy1,

y1.5x3y15,（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y满足约束条件yx1,

x5y3.七、课堂小结

1．使用图解法解决线性规划问题的步骤是什么？

（定、画、作、移、求.）

2．本节课渗透了些什么数学思想方法？

（建模思想、数形结合思想，用几何方法处理代数问题的方法．）

八、布置作业：教材93页A组第3题、第4题；

九、教学反思：

本节课是学生是在学习掌握了不等式组表示平面区域的基础上讲解的.通过本节课学生了解了线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最值.课堂上应该给学生更充分的时间进行思考，逐步引导，让更多的学生去思考、探索，最终得出结论.

本课成功之处：能有效的将信息技术与学科进行整合，为学生创设直观形象、生动活泼、富有趣味的学习情境，优化了教学过程，提高了学习效率.今后，在教学中我要秉承“学生是教学活动的主体”这一理念，更加注重信息技术与学科的有效整合.