3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义多媒体教学设计及其点评

高二数学理科导学案

§3. 2.1复数代数形式的加减运算及几何意义

时间

2010.03 教学目标：

知识与技能：掌握复数的加法运算及意义

过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义

情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)

理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．

教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪

。

教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定. 教学过程：

复习回顾：

1.复数的定义：

2. 复数的代数形式:

3. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当

时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当

时，复数z=a+bi叫做虚数；当

时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当

时，z就是实数0. 4.复数集与其它数集之间的关系：

. 5. 两个复数相等的定义：

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小

只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

6. 复平面、实轴、虚轴：

y点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bZ(a，b)b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

实轴上的点都表示实数

1 oax

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，

它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数zabi复平面内的点Z(a,b)

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法

讲解新课：

一．复数代数形式的加减运算

１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=

2.

复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=

3.

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明：

4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

讲解范例：

例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解：

例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i) 解法一：

解法二：

二.复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加(减)法

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).

一一对应

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１．复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ

2.

复数zabi平面向量OZ

3.复数加法的几何意义：

4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于OZ2Z1Z，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向一一对应一一对应量终点并指向被减数的向量对应. 例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？

解：

点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.

即AB所表示的复数是zB－zA.

，而BA所表示的复数是zA－zB，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关

例4

复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用ADBC，求点D的对应复数. 解法一：

3 例2图

分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解. 解法二：

点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

课堂练习：p109

1. 2.

1.

2.

课后作业：课本第112页

习题3.2

1 , 2 , 3 课堂小结

：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小

只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

复数的加法法则：

复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量OP1、OP2，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量OS就是z1+z2的和所对应的向量

复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

师生反思

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