小结教学设计及教案分析

《基本不等式》的说课稿

教材: 《普通高中数学课程标准试验教科书(人教A版) 》必修5

“3.4 基本不等式”第一课时

下面我将从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本课进行说明。

一、背景分析

1、

学习任务分析

基本不等式是本章最后一节，是继一元二次不等式、简单线性规划之后又一工具性的知识, 它是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。

本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出基本不等式,在此基础上探究基本不等式的证明,了解分析法的思维过程，使学生体会数形结合的思想,进一步培养学生的抽象能力和推理论证能力。其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,既有逻辑推理,又有直观的几何图形,使得不等式的证明成为本节课的核心部分,自然也是本节课的重点。

2、

学生情况分析

学生在此之前,已经具备了圆和三角形的基本知识,熟知了三角函数的定义,掌握了不等式的性质和比较法证明不等式。由于没有基础，学生会对分析法感到陌生，加上基本不等式的几何证明中线段间的关系比较隐蔽，学生不易发现。因而本节课的难点仍然是基本不等式的证明。

二、教学目标设计

《课程标准》对本节课有以下两个方面的要求：

1．

探索并了解基本不等式的证明过程；

2．会用基本不等式解决简单的最值问题；

结合“课标”的要求和学生的实际，我将本节课的教学目标确定为以下三点：

1.

通过观察背景图形，抽象出基本不等式；

2.

了解分析法的证明思路，理解基本不等式的几何背景；

3．

体会数形结合的数学思想，培养学生的抽象能力和推理能力；

1

三、课堂结构设计

创设问题情景

抽象基本不等式

探究代数证明

探究几何证明

基本不等式应用

课堂小结

首先从背景图象出发，抽象出基本不等式，再从代数、几何两个方面进行证明，然后通过例题理解基本不等式的初步应用；最后通过课堂小结提高学生认识，加深印象。

四、

教学媒体设计

为了顺利完成教学任务，实现教学目标，帮助学生理解教学难点，在媒体的使用上我做了以下数学知识，数学思想方法；

引导观察图形，得出几何解释；

展示证明过程；了解分析法；

抽象重要不等式；抽象基本不等式；

展示图形；几何画板演示动画；

做例题并思考，理解数学本质；

2

安排：

制作了多媒体课件，借助几何画板动态地展示了知识的背景，增加了学生的感性认识，分解了难点；

五、

教学过程设计

本节课我设计了以下六个步骤：

步骤一：创设问题情景，抽象重要不等式

新的教学理念更加注重知识产生的背景，重点体现知识的形成过程。为此，我设置了以下几个问题：

展示图片，抽象出几何图形（几何画板演示）

aba2+b2（1） （2）

问题1：同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗? （学生的回答可能会很杂乱）

问题2:为了引导学生发现图中的不等关系，我又设计了以下三个小问题：

(1):我们把图（1）抽象成图（2）在正方形中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的直角边长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

3

(2)：那4个直角三角形的面积和呢？

(3)：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得怎样的式子呢？什么时候这两部分面积相等呢？（几何画板

）

22期望得到：对于任意实数

a、b，ab2ab，当ab时，等号成立。

问题3：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)

问题1的设计意图在于充分体现学生的主体地位，给学生创造联想的空间。问题2意在引导学生逐步探索，最终通过的自己发现而得到重要不等式，明确等号成立的情形，这里采用分步设问有效排除了障碍，又显得水到渠成。问题3意在让学生由直观感觉上升到理性证明，既体现数学的严谨性，又巩固了比较法的应用。

步骤二：由特殊到一般得到基本不等式

（教师说明代替要求，学生完成过程，亲身体验知识的来历）

特别地,如果a0,b0,用a和b分别代替a、b,可得ab2ab,也可写成

abab(a0,b0)，当a=b时，等号成立。

2步骤三：了解基本不等式的代数证明（学生完成填空）

ab要证: ab(a0,b0)①

即证 ab ②

要证②,只要证 ab 0 ③

要证③,只要证 ( - )

0 ④

显然, ④是成立的,当ab时, ④的等号成立。

由于没有知识铺垫，分析法对学生来说了解就行，完成填空即可。

步骤四: 探究基本不等式的几何解释

展示图形， 22

4

DDAaCbB

AaCbB

（1）

（2）

EE观察图（1）AB是圆的直径，DE是垂直于直径的弦，其中AC＝a，BC＝b,提出问题4 问题4：你能从图形中得出DC和AB一半的大小关系吗？(

DC观察图像（2），直角三角形ABD中，提出问题5 问题5：你能用a、b表示线段DC吗？

（教师引导学生考察

的大DAB和BDC小，进而考察它们的正切值，得到

；几何画板演示引DCab,即ab何画板

）

图形（1）（2）由简单到复杂，问题4，5由易到难，将线段间的隐含关系逐步挖掘出来，分解难点螺旋上升降低了证明的难度，最终顺利地解决了问题。

步骤五：初步应用，加深理解

例题：

1. （1）两个正实数的积是81,当这两个数取什么值时,它们的和最小? （2）. 两个正实数的和是12,当这两个数取什么值时,它们的积最大? 2．已知x、y都是正数，求证：

yx≥2；

xy

5 ABab

) 22ab导学生观察等号成立的时刻，得到

a=b时等号成立）。（几2

根据学生的接受能力，我安排了两道简单例题，让学生会初步应用基本不等式，引导学生观察例题的条件和所求，从而体会基本不等式的数学本质：两个正实数的和与乘积的不等关系。

步骤六：小结与作业布置

1、

本节课我们学习的主要内容是什么？

2、

证明基本不等式的过程中，应用了哪些数学思想和数学方法？

3、

基本不等式的数学本质是什么？

布置作业：

1、

课本习题P114页A组1；

2、

课后思考：应用基本不等式需要注意哪些事项？

作业1主要考察全体学生对基本不等式理解和初步应用情况，考察学生是否达到了本节课的教学要求。为了让学生在课后巩固本节内容的过程中探究基本不等式的使用条件，全面认识本节课的知识，同时也为下节课做好铺垫。

六、

教学评价设计

根据本节课的内容，我从以下三个方面进行教学评价：

1．

关注学生从实际背景中抽象数学知识的能力，通过学生的回答情况适度加以引导，做出评价；

2．

在学生探究过程时，通过教学观察，对学生积极参与的程度和主动合作的意识做出评价；

3．

通过课堂小结和作业反馈教学效果，以便查漏补缺。

以上我对本节课的一些理解和思考，不妥之处，敬请各位同事批评指正。谢谢！

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