二次函数y=ax²的图像和性质教学设计实例

22.1.2

二次函数yax2的图象和性质

一、教学目标

（一）学习目标

1．会用描点法画出形如y=ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念；

2．通过观察图象，能说出二次函数y=ax2的图象特征和性质；

3．在类比探究二次函数

y=ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想．

（二）学习重点

会画二次函数y=ax²的图象，理解其图象特征和性质．

（三）学习难点

用描点法画二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质，体会数与形的相互联系．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）二次函数y=ax2

，当a>0时，图象特征和性质是：

①图象是一条抛物线，开口向上；

②原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当x=0时，函数y有最小值0；

③图象是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；在对称轴的左侧（即x<0时），抛物线从左到右下降，y随x的增大而减小；在对称轴右侧（即x>0时），抛物线从左到右上升，y随x的增大而增大. （2）二次函数y=ax2

，当a<0时，图象特征和性质是：

①图象是一条抛物线，开口向下；

②原点（0,0）是图象的顶点，也是最高点，当x=0时，函数y有最大值0；

③图象是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；在对称轴的左侧（即x<0时），抛物线从左到右上升，y随x的增大而增大；在对称轴右侧（即x>0时），抛物线从左到右下降，y随x的增大而减小. 2．预习自测

1.二次函数y6x2的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标________，当x_______时，y随x的增大而增大，当x_______时，y随x的增大而减小，

当x=______时，y有最______值,为

．

1

2.函数y2x2的图象开口方向________，对称轴是_______，顶点坐标__________，

在y轴的左侧，y随x的增大而______，在y轴的右侧，y随x的增大而______．

当x=_______时，函数有最______值,为

．

3.函数y121x与yx2的图象之间的关系是____________．

3324.已知函数ymxm（二）课堂设计

1．知识回顾

7的图象是抛物线，且开口向下，则m的值为_______. （1）二次函数的定义：

（2）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与性质

（3）研究函数时，了解函数性质的主要工具是：函数的图象．

（4）画函数图象的主要步骤：①列表.②描点.③连线. 2．问题探究

探究一

画出二次函数yax2的图象

重点、难点知识

●活动①

合作探究

1.实践操作：用描点法画yx2的图象。

解：（1）列表：

x

y

... ... -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 ... ... （2）描点：

（3）连线：用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数

yx2的图象. 2、观察探究：观察

yx2

这个函数的图象，它有什么特点?

（1）你能描述图象的形状吗? （2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? （3）图象有最低点吗？如果有,坐标是什么? （4）当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化？当x>0呢？

（5）当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？

特点：(1)图象是一条抛物线，开口向上；

（2）原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当x=0时，函数y有最小值0；

2

（3）图象是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，y随x的增大而增大. 探究二

二次函数yax2的图象及性质

重点、难点知识

●活动①

自主探究

1.画出函数y2x2，y（1）列表：

（2）描点：

x

y=2x²

y=12x

212x的图象：

2... ... ... -2 8 2 -1 2 1

20 0 0 1 2 1

212x

的图象. 22 8 2 ... ... ... （3）

用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y2x2，y2.思考归纳

函数

y2x2，y12x的图象与函数yx2的图象相比，有什么共同点和不同点？

2学生讨论后回答，教师点拨.：相同点：不同点：．

猜想：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由什么决定的？

●活动②

类比探究

11.画出函数yx2

，y2x2，yx2的图象，并考虑2这些抛物线有什么共同点和不同点．

思考：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由什么决定的？

开口方向：由a的正负决定——正，开口向上；负，开口向下

开口大小：由a的大小（绝对值）决定——a越大，抛物线的开口越小

2.归纳慨括：二次函数y=ax2的性质是什么？

小组讨论，列表归纳：

●活动③

性质应用

1.抛物线y6x2开口向______，对称轴是

，顶点坐标是

；在对称轴

侧，y随着x的增大而增大，在对称轴

侧，y随着x的增大而减小；当x=

时，3

函数y的值最小，最小值是

；抛物线y6x2在x轴的

方（除顶点外）。

22.抛物线yx2在x轴的

方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的增大3而

，在对称轴的右侧，y随着x的增大而

；当x=0时，函数y的值最大，最大值是

；当x

0时，y<0. 探究三

拓展应用

●活动①

二次函数yax2解析式的确定

例1

已知抛物线yax2经过点A（-3，-18）.（1）求此抛物线的解析式；（2）判断点B（-2，-6）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-10的点的坐标. 练习：一个抛物线形涵洞如图所示，在平面直角坐标系中，当水位在EF位置时，水面宽度为12m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（

）

11A．y9x2

B．y9x2

C．yx2

D．yx2

99●活动②

二次函数yax2的图象与一次函数的图象共存同一坐标系的问题

例2.在同一坐标系中画出一次函数y=ax+a和二次函数yax2的大致图象正确的是(

)

练习：二次函数yax2与一次函数yax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(

)

●活动③

与yax2的图象和一次函数图象交点有关的问题

例.如图,已知抛物线yax2(a≠0)与直线AB交于点P(4,-4),连接OP,OP=AP,求二次函数的解析式及抛物线与直线AB另一个交点B的坐标. 练习：已知抛物线yax2经过点（-2，8），将抛物线yax2沿x轴4

对折后与直线y3x2交于A、B两点，求线段AB的长.

●活动④

与yax2有关的综合题

例4

如图,抛物线yx2与直线y=2x在第一象限内有一个交点A. (1)求A点坐标；

(2)在x轴上是否存在一点P,使△AOP是以OP为底的等腰三角形?若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

练习：如图，已知抛物线y=ax2(a≠0)与直线y=kx-3相交于E、F两点，其中E（-1，-1.5），求△EOF的面积.

3．课堂总结

（1）二次函数的图象是一条抛物线. （2）二次函数y=ax2性质:

开口方向：②对称轴：③顶点坐标：④增减性：⑤最值：

（三）课后作业

1.下列关于函数y＝7x2的叙述中，错误的是（

）

A．图象的对称轴是y轴

B．图象的顶点是原点

C．当x＞0时，y随x的增大而增大

D．y有最大值

2.抛物线y=2x2，y=-2x2，y=

A.开口向上

12x的共同性质是(

) 2B.对称轴是y轴

C.都有最高点

D.y随x的增大而增大

3.若二次函数yax2的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（

）

A.（2，4） B.（－2，－4）

C.（－4，2）

D.（4，－2）

4.如图所示的四个函数的图象分别对应的函数是①yax2;②ybx2;③ycx2;④ydx2，则a, b, c, d的大小关系为（

）

A、a＞b＞c＞d

B、a＞b＞d＞c

C、b＞a＞c＞d

D、b＞a＞d＞c

5.当m=________时，抛物线y(m1)xmm开口向上，对称轴为_______. 6. 已知点、在抛物线y2x2上，则当x1x20时，y1与y2的大小关系是（x1,y1）（x2,y2）________. 7.已知点(-2，y1)，(3，y2)，(-4，y3)都在函数y=8x2的图象上，则(

)

A.y1

B.y1

C.y3

5 2D.y2

8. 抛物线yax2与直线y=2x-5交于点(2,m). （1）)求a和m的值; （2）求抛物线对应的函数解析式,并求出抛物线的顶点坐标和对称轴; （3）x取何值时,二次函数yax2中的y随x的增大而增大? （4）求由抛物线yax2与直线y=-2的两个交点及原点所确定的三角形的面积.

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