29.4 切线长定理教学设计及教案分析

29.4

切线长定理*

┃教学整体设计┃

【教学目标】

1.了解切线长、三角形内切圆、三角形内心等概念. 2.理解切线长定理,并能运用切线长定理进行解题和证明. 3.会作三角形的内切圆. 4.经历观察、试验、猜想、证明等学习活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,培养有条理地、清晰地阐述自己观点的能力. 5.经历探究如何作三角形内切圆的过程,掌握作图的基本知识和基本技能. 【重点难点】

重点：切线长定理的应用及作三角形的内切圆. 难点：切线长定理及内心的应用.

教学过程

设计意图

一、复习引入新知

这节课我们继续来研究切线. 1.作△ABC的三条角平分线,有什么结论？

2.回忆切线的判定定理和性质定理.

复习旧知识,为探究本节课知识做准备.

教师在黑板上作出△ABC的三条角平分线,学生口述其性质：①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等.

二、师生互动,探究新知

1.切线长定理. 操作探究

通过上面的复习可知,过⊙O上任一点A都可以作圆的一条切线,且只能作一条,根据下面提出的问题,操作、思考、并解决问题：在纸上画⊙O,并画出过圆上点A的切线PA,连接PO,沿着直线PO将纸对折.设与点A重合的点为B,这时,OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用圆的轴对称性,思考图中的线段PA与线段PB,∠APO与∠BPO有什么数量关系？

分析：对折之后,OB与OA重合,OA是半径,OB也是半径.B为OB的外端,根据对折后角的度数不变,所以PB是⊙O的又一条切线,且PA＝PB,∠APO＝∠BPO. 从上面的操作及圆的对称性可得：

从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 学生独立按要求画图,操作,思考,并尝试解决问题,之后学生分组讨论,教师请3～4名学生回答问题,师生达成共识.

几何证明

如图,已知PA、PB是⊙O的两条切线,求证：PA＝PB,∠OPA＝∠OPB. 分析：根据所要证明的结论在图中分布的位置特点和已知条件,易得只要证明两个对应的三角形全等即可. 学生观察图形,思考书写规范的证明步骤,教师及时点拨,肯定. 得到切线长定理：边圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等. 归纳：切线长定理的基本图形研究如下.

学生通过画图,折叠,观察获得结论,初步感知定理.

学生运用全等知识进行几何推理证明,体会数学结论的严谨性,培养应用数学的意识和能力.

通过交流、讨论,把所列条目总结全.体现数学知识的完整性,从整体上把握切线长定理的有关结论.

如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点.直线OP交⊙O于点D,E,交AB于点C. (1)写出图中所有的垂直关系；

(2)写出图中所有的全等三角形；

(3)写出图中所有的相似三角形；

(4)写出图中所有的等腰三角形. 说明：对基本图形的深刻研究和认识是学习几何时的关键,它是灵活应用知识的基础. 重点强调：圆外一点与圆心的连线平分过这点的两条切线所形成的夹角. 2.三角形的内切圆.

从旧知识出发,呼应引入问题,自然引出三角形的内切圆概念,便于学生理解.

加深学生对知识的认识.

如图,三角形的三条角平分线交于一点,设交点为I,那么I到AB、AC、BC的距离相等,因此以点I为圆心,点I到BC的距离ID为半径作圆,则⊙I与△ABC的三条边都相切. 问题：三角形的内切圆有几个？一个圆的外切三角形是否只有一个？

教师引导学生将“三角形的三条角平分线交于一点,这点与三边的距离相等”和“圆心与圆上各点距离都等于半径”这两个结论相结合,理解三角形的内切圆的概念. 总结：三角形的内切圆只有一个,圆的外切三角形有无数个.

三、运用新知,解决问题

教材第13页练习. 教师组织学生进行练习,教师巡回检查.师生交流评价,教师指导学生写出解答过程,进行题后反思.

四、课堂小结,提炼观点

1.圆的切线长概念和定理. 2.三角形的内切圆及内心的概念.

化未知为已知,体会转化思想,运用本节知识,形成解题技巧,培养学生的应用意识和能力.

归纳提升,加强反思,使学生对知识的掌握系统化.

五、布置作业,巩固提升

全体学生必做：教材第14页A组；成绩中上等学生必做：教材第14页A、B组.

巩固深化,提高认识.

┃教学小结┃

【板书设计】

切线长定理

1.切线长定理

2.三角形的内切圆.