1.3 二项式定理（通用）第一课时评课稿

高中课程标准人教A版·数学选修2-3

2.2.3独立重复试验与二项分布

一、内容及其解析

1、内容：本节内容是高中课程标准人教A版选修2-3第二章《随机变量及其分布》的第二节《二项分布及其应用》的第三讲《2.2.3独立重复试验与二项分布》。通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的基础知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及分布列有关内容。二项分布是继超几何分布后的又一应用广泛的概率模型,它是我们高中学习的一个重点。

2、解析：在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。可以说本节内容是对前面所学知识的综合应用，是一种模型的构建。课本的设计思路是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而得到二项分布模型，再应用于实际的过程。学习本节内容，对今后学习概率及相关学科的学习产生深远的影响。

二、目标及其解析

1 、知识与技能

（1）知道n次独立重复试验的模型与二项分布；

（2）会求在n次独立重复试验中，事件A发生k(k0,1,2,,n)次的概率。

解析：本节内容在2018年教学大纲中的要求是“理解独立重复试验的模型与二项分布，并能解决一些简单的实际问题”，考纲对本节内容主要有两个要求：一是理解独立重复试验的模型与二项分布，二是能解决一些简单的实际问题。第一个要求具体、容易操作，我们就把第一个要求作为第一个目标；而第二个要求“能解决一些简单的实际问题”过于笼统，在教学中不容易操作，为此，我们围绕考纲制定了两个具体的教学目标：①知道n次独立重复试验的模型与二项分布；②会求在n次独立重复试验中，事件A发生k(k0,1,2n)次的概率。

2、过程与方法

(1) 借助学习小组，通过小组讨论、小组汇报以及教师点拨等环节，从具体事例中归纳出独立重复试验与二项分布两个数学概念。

(2) 让学生在试验、探究的过程中，体会由特殊到一般、由具体到抽象的数学思想方法。

3、情感态度与价值观

（1）使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于生活，应用于实际。

（2）培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。

（3）培养学生自主学习、互助学习的能力。

4、教学重点与难点

教学重点：

（1）知道n次独立重复试验的模型与二项分布；

（2）会求在n次独立重复试验中，事件A发生k(k0,1,2,教学难点：二项分布的构建过程。

解析：在本节教学过程中，学生在观察P(B0)q，P(B1)3pq，P(B2)pq，322,n)次的概率。

kk3kP(B3)q3，归纳得到P(Bk)C3pq规律较为困难，即教学的难点为二项分布的构建过程。

三、教学问题诊断及其解析

1、学生在学习n次独立重复试验的概念时，对教材中“一般地，在相同条件下，重复做n次试验成为n次独立重复试验”的理解可能较为浅薄，在归纳n次独立重复试验的条件可能存在问题，为此，在学生小组合作学习的基础上，还需要老师进一步归纳总结，得出正确结论。

2、在本节教学过程中，学生在观察P(B0)q，P(B1)3pq，P(B2)pq，kk3kP(B3)q3，归纳得到P(Bk)C3pq的规律可能存在困难。为此，设计了问题，让小322组进行讨论，教师点拨，层层推进，以便学生理解。

四、教法学法及其解析

1、教法及其解析

本节课采用“问题导学法”教学，通过问题，启发学生自主探究、合作学习来达到对知识的理解和接受。新课标指出，学生是教学的主体。教师要与学生活动为主线，在原有知识的基础上构建新的知识体系。通过纵向挖掘知识的深度，横向加强知识间的联系，培养学生的创新精神、合作学习精神，并且使学生的有效思维量增大，随着对新知识和方法产生有意注意，使能力和知识的形成相伴而行，使学生在解决问题的同时，形成方法。

2、学法及其解析

在问题的引领下，通过独立自学、小组互助、小组汇报及其教师指导来完成本节课的学习。以学生为主体，改变学生“学”的学习方式是高中数学课程标准追求的基本理念，阅读自学、自主探究、合作学习等是学生学习数学的重要方法。本节课通过学习小组独学、互学以及课堂展示，针对学生在课堂上暴露的问题，教师进行适当点拨。这些具体的做法有助于发挥学生学习主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”的过程。为学生形成积极主动的、多样的学习方法创造有利条件，以激发学生的学习兴趣和创新潜能，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯，也使得学生的数学学习不仅仅局限于对概念结论和技能的记忆、模仿和积累，更培养了学生的数学思维能力。

五、教学过程

1、教学内容

引例：我们有句谚语“三个臭皮匠，顶过诸葛亮”。假如诸葛亮解决某一问题的把握是90%，三个臭皮匠能够单独解决该问题的把握都是60%，且三个臭皮匠是否能够解决该问题不会相互影响。那么这三个臭皮匠真的能顶过诸葛亮吗？

设计意图：从一句谚语中引出问题，增加学生的兴趣和求知欲。

【1】课前回顾

1、事件A与事件B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)；若A1,A2,A3,互独立，则P(A1A2A3,An两两相An)P(A1)P(A2)P(A3)n0n1n1P(An)

nnknkkCnb；Tk1Cnab

2、二项式定理：(ab)CnaCna2n22bCnab设计意图：

①课前回顾的第一个问题是前面所学的重点内容，而在本节课中也用到这个知识点来求解概率，因此起到了承上启下的作用。

②在这一节内容中，最重要的一个概念是二项分布，而为什么称为二项分布，

是因为在在n次独立重复试验中，事件A发生k(k0,1,2n)次的概率公式刚好是二项式定理展开式中的第k1项，因此课前回顾的第二点与此相呼应，起到铺垫的作用。

【2】揭示目标

1、知道n次独立重复试验的模型与二项分布；

2、会求在n次独立重复试验中，事件A发生k(k0,1,2,,n)次的概率。

设计意图：让学生知道这节课的主要内容，为这节课的学习指明方向。

【3】探究学习

问题1：（课堂小实验）请你投掷3次图钉，回答以下3个问题：

（1）前一次试验的结果是否会影响后一次试验的结果？

（2）前一次试验“成功”的机会与后一次试验“成功”的机会是否相同？

（3）每一次试验出现几种可能的结果？

解析：

（1）不会影响----说明每次试验相互独立；

（2）相同----说明每一次试验成功的概率相同；

（3）两种结果----说明每次试验只可能出现两种结果，要么成功，要么失败。

设计意图：

①课堂小试验既培养了学生的动手能力，又为得到n次独立重复试验提供了试验基础。

②问题中的3个小问题能够引导学生得到n次独立重复试验的条件。

结论1：独立重复试验的概念：一般地，在相同条件下，重复做n次试验称为n次独立重复试验。

结论2：独立重复试验的条件

（1）每次试验相互独立；

（2）每一次试验成功的概率相同；

（3）每次试验只可能出现两种结果，要么成功，要么失败。

问题2：投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q1p。设Ai 为第i（i=1,2,3）次针尖向上，连续投掷图钉3次，出现k(k0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？若连续投掷4次，5次，，n次呢？你能发现什么规律？

解析：用Bk(k0,1,2,3)表示事件“连续掷一枚图钉3次，出现k次针尖向上”，

可以得到：

P(B0)P(A1A2A3)q3

P(B1)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)=3q2p

P(B2)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)3qp2

P(B3)P(A1A2A3)p3. 仔细观察发现：

投掷3次时：P(Xk)C3pqkkkk3k(k0,1,2,3)

(k0,1,2,3,4)

投掷4次时：P(Xk)C4pq投掷5次时：P(Xk)C5pq

投掷n次时：P(Xk)Cnpqkkkk4k5k(k0,1,2,3,4,5)

nk(k0,1,2,,n)

设计意图：

①引导学生利用一一列举的方法计算出k(k0,1,2,3)次针尖向上的概率。②引导学生发现规律，为得到二项分布的概念做好准备。

二项分布的概念：

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

kkP(Xk)Cnp(1p)nk,k0,1,2,...,n

此时称随机变量X服从二项分布，记作X1、公式中各字母的含义

B(n,p),并称p为成功概率。

2、二项分布满足的条件

（1）满足n次独立重复试验

（2）随机变量X是在n次独立重复试验中事件A发生的次数．

设计意图：

①对公式中各字母的含义进行解读，让学生明确每个字母的含义；

②把二项分布的条件提炼出来，帮助学生判断什么是二项分布。

例题1：某射手射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中。

（1）恰好8次击中目标的概率；

（2）至少有8次击中目标的概率。

（结果保留两个有效数字）

解：设X为击中目标的次数，则XB(10,0.8). (1)

在10次射击中，恰好8次击中目标的概率为

8P(X8)C100.88(10.8)1080.30

(2)

在10次射击中，至少有8次击中目标的概率为

P(X8)P(X8)P(X9)P(X10)

8910C100.88(10.8)108C100.89(10.8)109C100.810(10.8)1010

0.68. 所以，在10次射击中，恰好8次击中目标的概率约为0.30；在10次射击中，至少有8次击中目标的概率约为0.68. 设计意图：对二项分布的简单运用，帮助学生更好的理解二项分布。

学以致用（引例分析）：

（1）请你列出三个臭皮匠能够解决该问题的人数的分布列；

（2）从概率的角度进行解释“三个臭皮匠，顶过诸葛亮”。

解析：设三个臭皮匠能够解决该问题的人数为X,则X0,1,2,3；满足X(3,0.6)

01P(X0)C30.60(10.6)30.064；P(X1)C30.61(10.6)310.288

23P(X2)C30.62(10.6)320.432；P(X3)C30.63(10.6)330.216

分布列为：

X

0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 p(X)

由此可以知道：三个臭皮匠至少有一个能够解决该问题的概率为：

（方法一）P(X1)P(X1)P(X2)P(X3)0.2880.4320.2160.936

（方法二）P(X1)1P(X0)10.0640.936

又因为0.9360.9，所以三个臭皮匠获胜的可能性更大。

设计意图：

①学以致用；

②这句谚语告诉我们人多智慧多，我们需要相互团结、相互帮助，这也是对情感态度价值观的培养。

【4】课堂小结

【5】学生反馈，教师点拨

对小组汇报中存在的问题进行纠正，遗漏的问题进行补充，不能解决的进行释疑。老师要尤其注意学生在讲解的过程中是否有方法总结，思路是否清晰。

1、在对n次独立重复试验的概念解读时，要对其满足的条件进行强调，即

独立重复试验的条件为：

（1）每次试验相互独立；

（2）每一次试验成功的概率相同；

（3）每次试验只可能出现两种结果，要么成功，要么失败。

2、在对二项分布的概念解读时，要对其满足的条件进行强调：即

二项分布满足的条件：

①满足n次独立重复试验

②随机变量X是在n次独立重复试验中事件A发生的次数．

【6】课后反思

1、n次独立重复试验的概念是什么？ 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。

2、二项分布的概念是什么？ 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

kkP(Xk)Cnp(1p)nk,k0,1,2,...,n

此时称随机变量X服从二项分布，记作

X~B(n,p) ,并称p为成功概率。

设计意图：帮助学生梳理这一节课的重点知识。

六、板书设计

2.2.3独立重复试验与二项分布

1、独立重复试验：

2、二项分布：X~B(n,p)

kkP(Xk)Cnp(1p)nk,k0,1,2,...,n

例题1：

分析：