一 数学归纳法教学设计实例

数学归纳法教学设计

湖南省龙山县皇仓中学 徐时成

教材及教法分析

数学归纳法作为直接证明的一种特殊方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。人教课标版教科书把数学归纳法安排在选修4-5《不等式选择讲》第四讲，教学时间为2课时。本节课是数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的实际应用问题。在此之前，学生已经通过数列一章内容和推理与证明内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，知道不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论的归纳推理是合情推理，而由合情推理得出的结论未必正确。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要载体，也是培养学生严密的推理能力及抽象思维能力的好素材。

通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯了对已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯仍需进一步强化。结合教学内容特点，本课主要采用“探究式学习法”进行教学。

学情分析

学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（在求曲边梯形面积中），但学生只是停留在认知阶段，对问题本质没有作更进一步的研究。另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定的基础。

教学教学目标

知识与技能目标：

根据教学内容特点和教学大纲、结合本校学生实际制订以下教学目标。

1.知识目标 （1）使学生进一步了解不完全归纳法属于合情推理，而由合情推理得出的

1

一般结论未必正确。

（2）使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．

（3）掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题．

2.能力目标

（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

3.情感目标

通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学

态度和勤于思考、善于观察的学习习惯。

教学重难点

根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点：

1.重

点

（1）初步理解数学归纳法的原理。

（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。

2.难

点

（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。

（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

教学过程

一、创设情境，引出课题

1、复习旧知，铺垫新知：

（1）不完全归纳法：

问题1：今天早上，校长曾疑惑，怎么咱15班只有男生吗？因为清晨我在教室门口看到第一个进教室的是男同学，第二个进教室的也是男同学，第三个进教室的还是男同学。于是他得出结论：15班全部都是男同学，同学们说他的结论对

2

吗？

问题2：

（2）完全归纳法；

针对5月月考成绩下了结论：这次月考咱15班的数学每位学生都及格，因为我逐一核对每位学生的成绩。

对于以上三例的结果是非常明显的，教学中主要用以上三例引出数学归纳法。

（出示投影）不完全归纳法→结论不可靠；

完全归纳法→结论可靠。

以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）

激发兴趣了解数学史，介绍费马猜想。但同时意识不完全归纳法有助于我们发现问题。

2、问题情境，方法引入：

1222情境一：23523472459122321223242；；；6665611；……

61222324252问：①请同学们观察以上等式，可以猜想出什么结论？（122232…+n2n(n1)(2n1)）

6②对于以上问题，你能完成证明吗？

注：①对于第一个问题，由于学生在学习求曲边梯形面积时已经用过，再结合归纳推理，学生很容易得出结论；

②对于以上问题，你能完成证明吗？

注：①对于第一个问题，由于学生在学习求曲边梯形面积时已经用过，再结合归纳推理，学生很容易得出结论；

②第二个问题，学生利用现有知识，无法完成证明。（可以让学生尝试运用完全归纳法，并点题。）

师：①利用完全归纳法得出的结论是可靠的，但对于解决与正整数有关的问

3

题却无法完成，不完全归纳法虽然步骤有限，但结论不一定可靠，那么我们能不能找出一种方法，既能使步骤有限又能使结论可靠呢？同学们想不想知道这种方法？（追问引出课题：数学归纳法）

②其实这种方法来源于生活，请同学们看多米诺骨牌的视频？

情境二：（播放多米诺骨牌视频）

问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？

二、师生合作，探究新知：

探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？

条件一：第一张骨牌倒下；

条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。

注：此问题由学生合作交流完成，必要时，教师重新播发视频或给予提示。

探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对证明122232…+n2n(n1)(2n1)有些启发？（证明本题对任意正整数都成立6相当于验证让骨牌全部倒下的条件）

注：通过以上合作交流，以及使骨牌全部倒下的两个条件，此时，师生共同探究得到解决引例的方法：

（1）第一块骨牌倒下相当于证明当n1时，命题成立；

（2）对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，相当于当nk(k1,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立。

师：（投影）证明122232…+n2（1）证明当n1时，命题成立；

（2）假设当nk(k1,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立。

探究三：第一块骨牌不倒行不行？假如从第二块、第三块骨牌开始将骨牌推倒，结果会是怎样？（第一块骨牌必须倒，才能让所有的骨牌倒下。如果从第二块或第三块开始倒，则只能让该块骨牌后面的全部倒下。）

注：此问题说明第一块骨牌倒下对全部骨牌倒下的重要性，同时也说明在证明与正整数有关问题时，n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可以

4 n(n1)(2n1)的两个步骤：

6

取其它正整数。

师：（板书）

“数学归纳法”

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1时，命题也成立。

只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述方法叫做数学归纳法。

思考：

（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？

（2）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问题？

（3）为什么这些步骤缺一不可？

（4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？

注：1、两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了递推的依据。

2、只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个总的结论。

3、数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。

三、典例分析：

例1：用数学归纳法证明122232…+n2n(n1)(2n1)(nN*)

61(11)(211)1，6师：（板书）证明：（1）当n1时，左边121，右边等式成立；

（2）假设当当nk(k1,kN*)时，等式成立，即：

122232…+k2k(k1)(2k1)，那么：

6

5

122232…+k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)26

(k1)(2k27k6)6(k1)(k2)(2k3)6(k1)[(k1)1][2(k1)1]6即：当nk1时，等式成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何nN*都成立。

注：上例让学生独立完成，师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。

注：数学归纳法步骤记忆口决：归纳奠基不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

四、错例辨析，突出重点

1、请你来批作业

111n(nN)1223n(n1)n1用数学归纳法证明：

11证明：（1）当n=1时，左边=2，右边=2，左边=右边，等式成立；

（2）假设当n=k时等式成立，即

1111k122334k(k1)k1

当n=k+1时，左边=11111111k1k1(1)()()()122334kk1k2k2(k1)1

=右边

即当n=k+1时等式成立。

6

由（1）（2）可知，对一切正整数，等式均成立。

说明：第二步的证明没有用上归纳假设即归纳假设要用到。

2、思考：

假设n=k时，等式2＋4＋6＋就是2＋4＋6＋＋2nn2n1成立，＋2kk2k1

22462k2(k1)kk12(k1)

那么(k1)2(k1)1

成立，这就是说，如果n=k时等式成立，那么n=k+1时等式也成立。

能否得出对任何非零自然数n，命题都成立？

提示：同学们可以自己验证n=1，n=2，n=3等时，命题是否成立？

五、反馈练习，加深理解：

用数学归纳法证明：135…+(2n-1)=n2

六、理解升华

师：数学归纳法一般被用于证明与正整数有关的数学命题，下面请同学们总结一下用数学归纳法证题的步骤。

学生交流后，共同总结，教师板书：

（1）证明当n取第一个值n0（例如n01或2等）时结论正确；

（2）假设当nk（kN*，且kn0）时结论正确，证明当nk1时结论也正确。

根据（1）和（2），可知命题对从n0开始的所有正整数n都正确。概括起来就是“两个步骤，一个结论。”

师：用数学归纳法证题时，两个步骤各起到了怎样的作用呢？

生：第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据。

师：回答的很好，我再强调一点：数学归纳法证题时这两个步骤缺一不可，只有把两个步骤中的结论结合起来，才能断定命题成立. 六、归纳小结，概念提升：

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用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：

1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；

2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式；

3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；

4）明确等式左端变形目标。

5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：

归纳奠基不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉

七、布置作业：

P50习题4.1第1、2、3题；

板书设计

§2.3.1

数学归纳法（一）

例1：……

学生板演

数学归纳法：

证明：……

……

教后反思

1. ……

……

2. ……

…………

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