1.3 二项式定理（通用）教学设计(第一课时)

《二项式系数的性质》教学设计

颍上县第一中学

陈久仓

一、教学内容解析

1．《二项式系数的性质》是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。以前面学习的二项式定理为基础，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的“符号意识”和抽象概括能力；

通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识、创新精神。

2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。

3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，巩固二项式定理，巩固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用。

4．从知识发生发展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然”，他们更应渴望的是“知其所以然”。故在老师适当的点拨下，学生通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。另“杨辉三角”是我国古代数学的重要成就之一，彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能，抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育，激励学生的名族自豪感，了解数学文化的发展与价值。

二、教学目标设置

教学目标：

1．掌握二项式系数的基本性质及证明方法；

2．通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程. 3．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情. 同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。

教学重点、难点：

1．教学重点：观察，讨论交流到归纳二项式系数的性质，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力；

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2．教学难点：从函数的角度，理解二项式系数的增减性与最大值，并论证。

三．学情分析

知识上学生已经学习了两个计数原理、二项式定理和组合数的性质等，已经具备了对二项式部分性质的归纳和证明的能力。同时对于高二的学生也已经基本接触了高中四大数学思想方法，即函数与方程、数形结合、转化化归、分类讨论思想，为突破本节课的难点奠定了基础。

学生在数学学科的学习特点存在较大的差异，而通过在教学中长期开展自主探究等学习性活动，学生间加强开展团结互助、合作交流等学习方式，学生能够克服学习差异性问题。学生之间也已经具备了一定的解决问题的能力，课堂上学生在教师的适当指导下，能够完成本节课的难点，即：二项式系数的性质的证明。

四、教学策略分析

本节课的教材编写的特点是把所要研究的问题都以结论的形式直接呈现。若以讲授的形式来完成教学过程，学生理解、掌握知识应不难，但可能造成学生学习兴趣缺失，学习能力得不到有效的提高，被动参与到学习过程中，无法体现学生的主体地位，。故而，教学上我们应从学生的认知规律出发，去暴露知识的发生、发展过程，指导学生积极参与到教与学的双边活动中去。

1．根据教学内容的特点，实现情感目标，本节课先结合“杨辉三角”这个历史材料，对学生进行情感教育并以此激发学生学习的热情。

2．依据知识的发生发展过程和学生的思维规律，本节课从布置课前探究，到课上合作交流完成规律展示，再从函数角度理解并证明性质，在知识的形成过程中去培养学生思维的逻辑性和深刻性，为不同认知基础的学生提供合理的学习机会和学习反馈的机会。

3．为突出重点，本节课采用学生课前自主探究，课堂上分组讨论的方式，教师采用启发观察和问题引导的方式，引导学生主动参与提出问题和解决问题的过程。按照“观察规律——归纳性质——推理论证——反馈升华”的环节来理解和掌握内容。螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想。

4．为突破难点，由师生共同完成对结论的推理证明。在结论的推证过程中培养学生思维的严谨性和演绎推理的能力以及掌握应用数学思想方法解决问题的能力。 五、教学过程

1.课前预习及探究活动：

（1）预习本节课内容；

（2）查阅“杨辉三角”的历史资料，要求能谈谈对杨辉三角的认识；

（3）自主探究二项式系数的性质，并整理成小论文. 【设计意图】引导学生开展课前预习及探究活动，其一：能帮助学生了解“杨辉三角”的历史及其包含的规律，弘扬我国古代数学文化；其二：课前布置自主探究二项式系数的性

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质，长期开展这种学习活动，能提高学生动手动脑能力，归纳能力，也为本节课深入探究二项式系数的性质打下良好的基础，其三：鉴于课堂时间有限，学生占用课堂的时间用于自主探究活动也受限，应有机结合课前、课上、课后的探究学习活动，提高课堂效率。

2. 复习引入

由学生集体回忆前面学过的相关知识：

（1）二项式定理及其特例；（2）二项展开式的通项公式；（3）二项式系数

【设计意图】通过复习引入，调动学生已有的相关知识，对本节课的学习起到承上启下的作用。

3.探索新知

【活动一】初识二项式系数表及杨辉三角

计算(ab)展开式中二项式系数填入到表格中：

n(ab)1

(ab)2

(ab)3

(ab)4

(ab)5

(ab)6

……

(ab)n

然后介绍“杨辉三角”。

【设计意图】学生通过填表的活动巩固二项式定理的知识和二项式系数的运算，并发现二项式系数具有的一些规律；同时让学生发现这样的表格不利观察二项式系数的更多规律，进而引发思考：如何排表更方便观察呢？借此自然的引出“杨辉三角”。通过对“杨辉三角”的介绍，让学生了解我国古代数学的伟大成绩，加强学生的爱国情感教育。

【活动二】合作交流探究二项式系数的性质

先观察二项式系数表，探究二项式系数的数字规律。然后与同一个学习小组的同学讨论交流各自的发现和想法，尝试着证明这些性质。最后请同学代表展示学习成果。

在观察二项式系数的数字规律这一环节，教师充分引导学生从不同的角度观察，如同一行横着看、上下两行看、斜着看、整体看、局部看等等；那又看什么呢？可以看大小、看关

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系、看和等等。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”让学生感受从多角度对待同一事物的妙处。

【设计意图】学生通过教师的引导，学习感受从多角度认识同一事物。经过独立的思考，为交流合作做好铺垫；通过学习小组的交流合作，及成果展示，让学生的不同想法得以展示，获得学习成功的成就感，并且可以对课本上没有出现的性质补充或者证明，充分肯定学生在学习中的创新精神。

【活动三】如何证明二项式系数的性质

rrr1问题1.如何证明Cn1CnCn？

思考问题：(1x)n1展开式中x项的系数是 ；

r(1x)n(1x)展开式中xr项的系数可以表示为 ；

通过以上的两个问题，你联想到了二项式系数的哪个性质？

【设计意图】通过归纳，抽象概括出二项式系数的性质，该性质是组合数的性质之一，在之前的学习有过证明，此处通过结合二项式定理的知识，另辟途径给出一个别样的证明方法，让学生学习活学活用知识，并感受思想方法的多样性和重要性。

问题2.如何证明(ab)n展开式的二项式系数的增减性与最大值呢？

教师分步引导：

012rn（1）(ab)n展开式的二项式系数Cn按顺序排成一列，可以看,Cn,Cn,Cn,,Cnr成一个数列吗？Cn可以看成是以为自变量的函数吗？它的定义域是什么？

r（2）画出n6和7时函数f(r)Cn的图象，并观察分析他们的对称性、增减性与最大值.

分析方法）.

（3）结合图像，通过相邻项作商证明二项式系数的增加性及最大值（数列的单调性的【设计意图】教师引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。这一过程不仅有利

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于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识。

问题3.探究课本27页问题，证明：(ab)n展开式的各二项式系数的和

012rnCnCnCnCnCn2n

012rn探究：（1）如何证明二项式系数的和CnCnCnCnCn2n？

（2）拓展：证明(ab)n展开式的奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。

（3）温故知新：设集合A{a1,a2,,an}中有n个元素，则该集合的子集个数为2个。请结合本章知识给予合理的解释。

【设计意图】通过学生在前一环节已经归纳猜想出二项式系数的和，引导学生验证猜想结论是否正确；同时利用赋值法证明二项式系数的和，为巩固并运用这种方法，将问题拓展到分析奇数项、偶数项的二项式系数和；同时联系到利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理结合二项式系数和这一性质，解释“n元集合的子集个数为2”这一结论，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应，将学生思维推向高潮。

4. 反馈练习

1、在(a2b)11展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ). A.第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项

2、在(a2b)展开式中，二项式系数最大的项是( ). A.第6项 B. 第7项 C. 第6项和第7项 D. 第5项和第6项

【设计意图】通过反馈练习，巩固本节课内容。

6. 课堂评价反思及延伸

【课堂小结】

通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？

【课堂延伸】今天同学们展示二项式系数的一些性质，但二项式系数表中规律奥妙无穷，只要大家从不同角度用合情推理，用你们热情和严谨的态度必能发现更多。

【课后活动】：二项式系数的奥妙. （研究性学习）

活动目标：探究与发现二项式系数的更多奥妙. 活动方案：先通过独立的再思考，继续发现规律，归纳猜想性质；再与小组合作交流讨论，并论证；最后整理成小论文的形式。

【设计意图】学生通过对本节课的总结与反思，表达自己在课堂上收获的知识与培养的情感，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法，同时教师可以在这一环节检查自己的预设目标是否达到，以便做好课后反思。活动的设置能够让学生带着问题走进课堂，也能带着疑问课后继续学习，使学生逐步建立课堂内外都有的探究意识，培养学生自11nn

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主研修的习惯。

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