阅读与思考 海伦和秦九韶优质公开课教案

向量与三角形

一、向量与三角形的面积

1、O是ABC的重心OAOBOC0。

若O是ABC的重心S1BOCSAOCSAOB3SABCOAOBOC0。

2、设O是ABC内一点，则有SAOB：SBOC：SAOCx:y:zxOCyOAzOB0

3、O是ABC的垂心OAOBOBOCOCOA

若O是ABC（非直角三角形）的垂心，则SBOC:SAOC:SAOBtanA:tanB:tanC,

故tanAOAtanBOBtanCOC0. 4、O是ABC的外心OAOBOC(或OA2OB2OC2)

若O是ABC的外心，则SBOC:SAOC:SAOBsinBOC:sinAOC:sinAOB

sinA2:siBn2:sC，故insin2AOAsin2BOBsin2COC0。

5、O是ABC的内心SAOB:SBOC:SAOCc:a:baOAbOBcOC0。

6、O是ABC的内心

OA(ABACABAC)OB(BABABCCBBC)OC(CACACB)0。

练习1：设O是ABC内一点，有3OAOBOC0，则ABC的面积与OBC的面积之比为（

A、2

B、3

C、4

D、53

2、设P是ABC内一点，且有AP25AB15AC，则ABP的面积与ABC的面积之比为（

）

A、15

B、2115

C、4

D、3

二、向量与三角形的心

（一）与“重心”有关的问题：O是ABC的重心OAOBOC0

1、已知O是ABC内一点，OAOBOC0，则O是ABC的（ ）

(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心

2、已知P是ABC所在平面内一点，且PAPBPC3PG，则G是三角形的（

）

(A)

外心

(B)内心

(C)重心

(D)

垂心

）

3、已知O为平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OPOA

(ABAC),(0,)，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）

(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心

4、已知O为平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OPOA

(ABBC),(0,)，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）

(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心

（二）与“垂心”有关的向量问题

1、已知O为ABC所在平面内一点，若OAOBOBOCOCOA，则O是ABC的（ ）

12(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心

2、已知O为ABC所在平面内一点，满足OABC则O是ABC的（ ）

22OBCAOCAB

2222(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心

3、ABC中，O为其外心，P为平面内一点，OAOBOCOP，则P是ABC的（ ）

(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心

4、已知O为平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OPOA

(ABABcosBACACcosC),(0,)，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）

(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心

（三）与“外心”有关的向量问题

1、已知O为ABC所在平面内一点，若OAOBOC，则O是ABC的（ ）

222(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心

2、已知O为平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OPOBOCAB(2ABcoBsACAC),cCos(0,，)P的轨迹一定通过ABC的则动点（ ）

(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心

（四）与“内心”有关的向量问题

1、已知O为平面内一点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OPOA

(ABACABAC)，(0,)，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）

(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心

2、已知O为ABC所在平面内一点，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若aOA

bOBcOC0，则O是ABC的（ ）

(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心

3、三个不共线的向量OA、OB、OCO(AABCAAB)CAO(BOC(CBACBCCAB)BCA，则)CO一定是BB0ABC的（(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心

三、向量与三角形的形状

1、已知非零向量AB，AC满足BC(ABABAC1ABACAC)0,ABAC2，则ABC为（

）

A、三边均不相等的三角形

B、直角三角形

C、等腰非等边三角形

D、等边三角形

2、ABC中，AB，AC满足BC(ABABcosBACACcosC)ABAC，则ABC为（

）A、钝角三角形

B、直角三角形

C、锐角三角形

D、等边三角形

3、ABC中，AB2ABACBABCCACB，则ABC为（

）

A、钝角三角形

B、直角三角形

C、锐角非等边三角形

D、等边三角形

4、在四边形ABCD中，若(DBDC2DA)(ABAC)0，则ABC的边满足（

）A、ABAC

B、ABBC

C、BCAC

D、三条边各不相等

答案：D、B、B、A

满足）