二 用数学归纳法证明不等式优秀教案案例

3.2.1 用数学归纳法证明不等式

教学设计

高碑店一中 任蕾

教学目标

1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，

2、理解数学归纳法的操作步骤，

3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重、难点

重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式. 难点：理解经典不等式的证明思路. 教学过程

一、复习准备：

1、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法. 2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P(n)．

(1)证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P(n0)正确；

(2)假设

n=k(k∈N且k≥n0) 时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P(k)正确推出P(k+1)正确，

根据(1)，(2)，就可以判定命题P(n)对于从n0开始的所有自然数n都正确．

二、讲授新课：

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

(1)在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；

(2)瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；

(3)活用起点的位置；

(4)有的试题需要先作等价变换. 三、应用举例：

例1

观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论. abnn2:1,4,9,16,25,36,49,64,81,n;

n2:2,4,8,16,32,64,128,256,512,.解题要点提示：试值n=1，2，3，4，

→

猜想an

→

数学归纳法证明

证明：(1)当n=5时，52<25，命题成立.

(2)假设n=k(k≥5)时，命题成立，

即k<2k. 当n=k+1时，因为(k+1)=k+2k+1

由(1)(2)知，n2<2n(n N+,n≥5)

所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.

例2．证明不等式|sinn|n|sin|(nN). 证明：(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│

当n=k+1时， │sin(k+1)θ│

=│sinkθcosθ+coskθsinθ│

≤│sinkθcosθ│+ │coskθsinθ│

= │sinkθ││cosθ│+ │coskθ││sinθ│

≤k │sinθ│+ │sinθ│

=(k+1) │sinθ│

由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立.

n例3．证明贝努利不等式. (1x)1nx(x1,x0,nN,n1)

2222k+12证明：(1)当n=2时，由x ≠ 0得(1+x)>1+2x,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立，即有(1+x)>1+kx. 当n=k+1时，

（1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx）>1+(k+1)x

注意：使用数学归纳法证明不等式，难点往往出现在由n=k时命题成立推出n=k+1时命题成立这一步.为了完成证明，不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题的其他条件及相关知识，如前面学习的证明不等式的各种方法和一些重要的不等式，注意发现或设法创设归纳假设与n=k+1时命题之间的联系，充分利用这样的联系来证明n=k+1时命题成立. k2四、巩固练习：

1.对任意的n N+,试比较n!与2n-1的大小，证明你的结论.

五、课堂小结：

1.应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；

2.技巧：凑配、放缩.