2.2.2 反证法PPT专用教学设计内容

例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2bab2

证明一：(分析法)

要证a3+b3＞a2bab2成立，

只需证(a+b)( a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，

即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，

即需证ab＞0成立。

2

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以ab＞0显然成立，由此命题得证。

2

证明二：(综合法) ∵a≠b，∴a-b≠0，∴ab＞0，即a-2ab+b2＞0 22

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)( a2-ab+b2)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2bab2，由此命题得证。

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在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的。没有分析就没有综合；没有综合也没有分析。问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法导主导地位，而分析法伴随着它。

特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难。为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采用同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标。从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径。上面所言的思维模式可概括为如下图所示：

综合法与分析法都是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用。把分析法与综合法两者并列起来进行思维，寻求问题的解答途径方式，就是人们通常所说的分析、综合法。

下面举一具体例子来加以说明。

例2、若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg证明：要证lgabbcca+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc。

222abbcca+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc，

222abbcca只需证lg··>lg（a·b·c），

222abbcca只需证··＞abc。

222abbcca但是，bc0，ab0，ac0。

222且上述三式中的等号不全成立，所以，

abbcca··＞abc。

222abbcca因此lg+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc。

222注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法。

综合法与分析法是数学中的重要方法，它是求解与分析数学问题思维基础，很多看似较难的问题通过合理、准确的使用综合法与分析法，都能使结论快速产生；本文再谈此两法的应用，进一步揭示两法的应用技巧，望对你的学习能有所帮助；

1、使用综合法

综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论；可以看出，若使用综合法求解问题，一定要将条件与结论结合起来，看看条件、再看看结论，如何架好从条件通往结论的桥梁？

例1、设3x2，求证：2x12x3153x8

222abab222)证明：由于a,bR时，(，得ab2(ab)

22那么，2x3153x2(2x3153x)242x

2x1242x2(4x4242x)214x21428

上述第一个不等式中等号成立的条件为：2x3153xx183[,2]

52故原不等式成立。

点评：本题的证明不重要，产生这个证明方法的思维过程很重要；你知道是怎么产生的吗？是综合法的“功劳”，请看：欲从左边证到右边，必须消去x；如何消？只有经过平方，才能将x从根号中“解救”出来，“解救”出来后才有消去的可能；于是在基本不等式ab2a2b2)中开始“搜索”与平方有关的不等式，慢慢的(就“浮出水面”，解法自22然也就诞生了；

2、使用分析法

分析法是从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等；可以看出，若使用分析法求解问题，对结论的简化与转化很重要，它是向条件靠拢的重要措施；

例2、设a,b,c为任意三角形边长，Iabc,Sabbcca，

试证：3SI4S

证明：由于I2(abc)2a2b2c22ab2bc2caabc2S

欲证3SI4S，只需3Sabc2S4S，

只需证Sabc2S，即abbccaabc2ab2bc2ca；

只需证abcabbcca且abc2ab2bc2ca；

先看abcabbcca，只需证2a2b2c2ab2bc2ca，即22222222222222222222222222(ab)2(bc)2(ca)20，显然，此式成立，

再看abc2ab2bc2ca，

只需证aabacbabbccbcca0；

只需证a(abc)b(bac)c(cba)0；

只需证abc且bca且cab，由于a,b,c为三角形边长，显然，结论成立；

故3SI4S

点评：本题从表面上看不易“征服”，但通过分析法将结论逐步转化，由看上去很难“接受”的3SI4S，转化为较为亲切的abbccaabc2ab2bc2ca，显然，这比原题的结论看上去要“舒服”多了，当然，求解也就顺畅了很多；

（2）欲证两三角形全等，只需证DEDE；

（3）只需证DEED是平行四边形，也就是DD平行且等于EE；

（4）只需证“DD平行且等于AA”且“EE平行且等于AA”

（5）只需证ADDA与AEEA均为平行四边形，显然这是一个成立的结论；于是：

证明：由于ADDA是平行四边形，则DD平行且等于AA；

同理，得EE平行且等于AA；

////////////////////22222222222

于是DD平行且等于EE，那么DEED是平行四边形，得DEDE

在ADE与ADE中，由于AEAE、ADAD且DEDE，因此，///////////////ADE全等于A/D/E/，从而BACB/A/C/；

点评：分析法找思路较为自然，容易产生解题思路与方法，但由于是“逆行”往往叙述较为复杂；而综合法产生的解法往往又显得很突然，一时不知此法由何而来；于是，二者结合，互相弥补便成了大家提倡的，即“用分析找思路，用综合法写过程”是十分行之有效方法；

好了，对于综合法与分析法，本文就谈到此，你看后有收获吗？

在前面我们已经知道合情推理和演绎推理都是根据某些已知判断来确定一个新的判断的思维过程.其中演绎推理在大前提小前提都正确的情况下所得的结论一定正确，而合情推理（归纳、类比等）所猜测得到的结论不一定正确，必须通过逻辑（演绎）推理的方式加以证明.下面就研究两类基本的证明方法———直接证明与间接证明.

一、综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维方式.

1.综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.又叫顺推证法或由因导果法.

其推理方式可用框图表示为：

其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，Q1，Q2，表示中间结论．

综合法常用的表达格式为：∵P，∴Q1；

又∵，∴Q2；，∴Qn；又∵，∴Q．

2．分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.

其推理方式可用框图表示为：

其中Q表示要证明的结论，Q1，Q2，Q3，，Q0分别表示使Q，Q1，Q2，，Qn成立的充分条件，Q0表示最后寻求到的一个明显成立的条件．

分析法常用的表达格式为：

要证Q，只需证Q1，只需证Q2，，只需证Q0，由于Q0显然成立，所以Q成立．

综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法.

二、反证法是间接证明的一种基本方法.

对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之

成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这种证明方法叫做反证法.

简易逻辑部分中四种命题间的关系领悟得好的同学不难悟出反证法的原理不外乎“互为逆否命题的两个命题真假一致”，即：“PQ”“QP”．

用反证法证题的格式一般为：

假设Q不成立，若(Q)，，则p，这与已知P（定义、公理、定理等）相矛盾，

∴假设(Q)不成立，∴Q成立．

1．综合法的每一步都是三段论（或其简略形式），大前提一定要正确，否则证明易出错.

2.使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的，因而证明格式上应体现出“分析”探讨性（“要证…，只需证…”），而非直接肯定结论.

例1

求证3725．

错证：∵3725，

∴(37)2(25)2，∴1022120，

，5∴2125，显然原不等式成立．

∴21

错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成已知条件来用了.

正：只需将“∵”改为“要证”，“∴”

改为“只需证”.

3.综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明（教科书P99例3）.一般是先用综合法由已知条件P推出一个中间结论M，再用分析法探求，发现M正是使所要证结论Q成立的充分条件.证明过程用框图1表示；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论Q成立的充分条件M，再用综合法由已知条件P推出M.证明过程用框图2表示.

或

例2 教科书中先综合后分析，证明式；我们还可以改用析后综合来证.

证明：要证

对P99例3的证法是过程如框图１的形框图2的形式，先分

1tan21tan2，

1tan22(1tan2)sin2sin2112cos2cos

只需证，

sin2sin21212cos2cos

1

即证cos2sin2(cos2sin2)

21

即证12sin2(12sin2)，

2

即证4sin22sin21

③．

另一方面，因为(sincos)22sincos1，所以将已知中的①②代入上式，

即得4sin22sin21与③相同，于是问题得证．

4.综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的，因此往往可以互相改写，但须注意二者表达格式的迥异.

5.反证法也经常与综合法或分析法结合使用.

例3 证明3，5，7不可能成等差数列．

证明（一）：假设3，5，7成等差数列，即3725，下面（用分析法）证明3725．

要证3725，

只需证(37)2(25)2，

即证22110，即证215，

即证2125，而该式显然成立，

故3725，这与假设相矛盾，

所以假设不成立，从而3，5，7不成等差数列．

证明（二）：假设3，5，7成等差数列，即3725，下面（用综合法）证明3725．



∵212∴215，∴22110，

，5

即3221720，

即(37)2(25)，

∴372，这与假设相矛盾，5

故假设不成立，从而3，5，7不成等差数列．