小结优秀教学设计内容

第二章综合检测

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值为(

) A．3

B．4

C．9

D．10 232．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加34工为一等品相互独立，，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(

) 5111A． B． C． D．

122463．已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D(X)等于(

) 1212A． B． C． D．

99334．设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(X<1－3a)＝P(X>a＋7)成立的一个必要不充分条件是(

) 3－5A．a＝1或2

B．a＝±1或2

C．a＝2

D．a＝

25．如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，则p等于(

) 1111A． B． C． D．

765436．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是10的事件为(

) A．恰有1只是坏的

C．恰有2只是好的

B．4只全是好的

D．至多有2只是坏的

2X P 0

m 1 2m

7.将一个小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每1次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为(

) 21133A． B． C． D．

84848．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为(

) A．13,4

B．13,8

C．7,8

D．7,16 9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是(

) A．7.8

B．8

C．16

D．15.6

k10．设随机变量ξ服从分布P(ξ＝k)＝，(k＝1、2、3、4、5)，E(3ξ－1)＝m，E(ξ2)＝n，15则m－n＝(

) 318A．－ B．7

C． D．－5 9311．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为(

) 1111A． B． C． D．

3212612．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为(

) 77737A． B． C． D．

42043二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝aξ－2，E(η)＝1，则D(η)的值为________. 14．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝________. 15．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是________元. 16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是______(写出所有正确结论的序号). 25①P(B)＝；

②P(B|A1)＝；

511③事件B与事件A1相互独立；

④A1，A2，A3是两两互斥的事件；

⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学.

(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；

(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；

(3)设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．

18．(本题满分12分)(2015·重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

19．(本题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品. (1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；

(2)已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、工序

概率

产品

甲

乙

第一工序

0.8

0.75

第二工序

0.85 0.8 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，求ξ、η的分布列及E(ξ)，E(η)；

(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(2)的条件下，x、y为何值时，z＝xE(ξ)＋yE(η)最大？最大值是多少？

等级

利润

产品

甲

乙

产品

甲

乙

项目

工人(名)

8

2

资金(万元) 5 10 5(万元)

2.5(万元) 一等

二等

2.5(万元)

1.5(万元)

20．(本题满分12分)(2016·天津理，16)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (Ⅰ)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

(Ⅱ)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

21．(本题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布，求p(187.8

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．

附：150≈12.2. 若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．

参考答案

31[答案]

D[解析]

∵P(ξ<4)＝＝0.3，∴n＝10. n232[答案]

A[解析]

根据相互独立事件与互斥、对立事件的概率公式得P＝×(1－)＋34235(1－)×＝，故选A．

34121122213[答案]

B[解析]

由m＋2m＝1得，m＝，∴E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝(0－)2×333333222＋(1－)2×＝，故选B．

3394[答案]

B[解析]

∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)，

∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1或2.故选B．

5[答案]

A[解析]

如果随机变量ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)，

1又E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，∴np＝7，np(1－p)＝6，∴p＝. 74kCk7C36[答案]

C[解析]

X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝4(k＝1、C10－13112、3、4)．∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，∴选C．

30102611117[答案]

D[解析]

小球落入B袋中的概率为P1＝(××)×2＝，∴小球落入A袋中22243的概率为P＝1－P1＝. 48[答案]

D [解析]

由已知E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，得E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.9[答C378案]

A[解析]

X的取值为6、9、12，P(X＝6)＝3＝，

C101512C27C117718C28C2P(X＝9)＝3＝，P(X＝12)＝3＝.E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8. C1015C101515151510[答案]

D 1234511[解析]

E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝，∴E(3ξ－1)＝3E(ξ)－1＝10，

1515151515312345又E(ξ2)＝12×＋22×＋32×＋42×＋52×＝15，∴m－n＝－5. 151515151511[答案]

C 113a＋b211[解析]

由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝(3a)·b≤·＝，等号在3a＝b＝，即332122

11a＝，b＝时成立．

6212[答案]

A [解析]

由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4. C131P(ξ＝1)＝1＝，

C621C133C3P(ξ＝2)＝11＝，

C6C51011C133C2C3P(ξ＝3)＝111＝，

C6C5C420111C113C2C1C3P(ξ＝4)＝1111＝. C6C5C4C320所以ξ的分布列为

ξ

P 1

1

22

3

103

3

204 1

2013317E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 2102020413[答案]

11 [解析]

根据题意得出随机变量ξ的分布列：

ξ

P 0

1

21

1

202

1

103

3

204 1

5111313E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，

220102052∵η＝aξ－2，E(η)＝1，

3∴1＝a×－2，即a＝2，

2∴η＝2ξ－2，E(η)＝1，

131313331311D(ξ)＝×(0－)2＋×(1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＋×(4－)2＝，

2220210220252411∵D(η)＝4D(ξ)＝4×＝11. 4故答案为11. 214[答案]

33C213[解析]

由条件知，P(A)＝，P(AB)＝2＝，

4C42

PAB2∴P(B|A)＝＝. PA315[答案]

140 [解析]

设此人获利为随机变量X，则X的取值是300，－100，其概率分布列为：

X P 300

0.6

－100 0.4 所以E(X)＝300×0.6＋(－100)×0.4＝140. 16[答案]

②④

[解析]

从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，1135即A1、A2、A3两两互斥，故④正确，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，又P(B|A1)＝，251011P(B|A2)＝44，P(B|A3)＝，故②对③错；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)11111514349＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故①⑤错误．综上知，正确结211511101122论的序号为②④. A21217[解析]

(1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)＝23＝，

C4A3181即甲、乙两人同时分到A社区的概率是. 18(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么

A313P(E)＝23＝，

C4A36所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是

5P(E)＝1－P(E)＝. 6(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i个同学到A社区，

2C214A2则p(ξ＝2)＝23＝. C4A332所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝，

3ξ的分布列是：

ξ

p 214∴E(ξ)＝1×＋2×＝. 33318[解析]

(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有

1

2

32 1

3

11C112C3C5P(A)＝3＝. C104(2)X的可能取值为0,1,2，且

2C37C1782C8P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝，

C1015C10151C212C8P(X＝2)＝3＝

C1015综上知，X的分布列为：

X P 0

7

151

7

152 1

157713故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．

151515519[解析]

(1)P甲＝0.8×0.85＝0.68，

P乙＝0.75×0.8＝0.6. (2)随机变量ξ、η的分布列是

ξ

P

η

P E(ξ)＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，

E(η)＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1. 5x＋10y≤60，8x＋2y≤40，(3)由题设知x≥0，y≥0.x＋2y≤12，即4x＋y≤20，x≥0，y≥0.2.5

0.6

1.5 0.4 5

0.68

2.5 0.32

目标函数为z＝xE(ξ)＋yE(η)＝4.2x＋2.1y. 作出可行域(如图)：作直线l：4.2x＋2.1y＝0，

将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝4.2x＋2.1y取最大

值．

x＋2y＝12，解方程组

4x＋y＝20.

得x＝4，y＝4，即x＝4，y＝4时，z取最大值，z的最大值为25.2. 12C113C4＋C320[解析]

(Ⅰ)由已知有P(A)＝＝. 2C1031所以，事件A发生的概率为. 3(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. 22111C2C1473＋C3＋C43C3＋C3C4P(X＝0)＝＝.P(X＝1)＝＝，

22C1015C10151C143C4P(X＝2)＝2＝. C1015所以，随机变量X分布列为

X P 0

4

151

7

152 4

15474随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 15151521[解析]

(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为

x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而

P(187.8

依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.

22[解析]

(1)依次将事件“甲队以胜利”、“甲队以胜利”、“甲队以胜利”记作A1、A2、A3，由题意各局比赛结果相互独立，

28故P(A1)＝()3＝，

3272228P(A2)＝C2()2·(1－)×＝，

3·3332722214P(A3)＝C2(1－)2×＝. 4()·33227所以甲队以胜利、以8胜利的概率都为，以274胜利的概率为. 27

(2)设“乙队以胜利”为事件A4，则由题意知

222214P(A4)＝C2()×(1－)＝. 4(1－)·33227由题意，随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3，

由事件的互斥性得，

16P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，

274P(X＝1)＝P(A3)＝，

274P(X＝2)＝P(A4)＝，

273P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，

27222213或P(X＝3)＝(1－)3＋C2. 3(1－)××＝333327∴X的分布列为

X P 0

16

271

4

272

4

273 3

27164437∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 272727279