2.1.1 合情推理ppt配用优秀教学设计

淮安市第一中学高二数学组

主备人: 第二章 推理与证明

时间:2.7---2.14 教案序号: 1 课题：合情推理（一）——归纳推理

课型：新授课

教学目标：

1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，推广的一般性命题也越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。

教学过程：

一、课堂引入：

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理

二、新课讲解：

1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、三角形的内角和是180，凸四边形的内角和是360，凸五边形的内角和是540

由此我们猜想：凸边形的内角和是(n2)180

221222221,,,3、331332333aam，由此我们猜想：（a,b,m均为正实bbm数）

这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 1

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主备人: 归纳推理的一般步骤：

⑴

对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；

⑵

提出带有规律性的结论，即猜想；

⑶

检验猜想。

三、例题讲解：

例1:已知数列an的通项公式an1(nN)，(n1)2实验，观察

概括，推广

猜测一般性结论

f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)的值。

【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）

（1）f(1)1a11

13

4413824f(2)(1a1)(1a2)f(1)(1))

9493612155f(3)(1a1)(1a2)(1a3)f(2)(1)

163168由此猜想，f(n)n22(n1)

22例2: 已知数列an的每一项均为正数, a1=1 , an1=an+1 (n=1,2,……),试归纳出数列an的一个通项公式.

四、巩固练习：

课本第29页2,3,4,5 注：归纳推理的几个特点：

1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 2

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主备人: 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 五、

教学小结：

1.归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

2.归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。

2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。

六、作业：课本41页 练习:1,2 七、教后感：

3

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主备人: 第二章 推理与证明

时间:2.7---2.14 教案序号: 2 课题：合情推理（二）——类比推理

课型：新授课

教学目标：

1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：用类比进行推理，做出猜想。

教学过程：

一、复习引入：

1、什么叫推理?推理由哪几部分组成? 2、合情推理的主要形式有 和 . 3、归纳推理是从 事实中概括出 结论的一种推理模式

4、归纳推理的特点: 5、2数），

请推测a= b= 。

二、新课讲解：

春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。这个推理过程是归纳推理吗？

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质： 猜想不等式的性质：

2233442,33,44,33881515

6aa（a,b均为实6bb4

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主备人: (1) a=ba+c=b+c;

(1) a＞ba+c＞b+c (2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc; (3) a=ba2=b2;等等 (3) a＞ba2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？

二、新课讲解： 由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

类比推理的一般步骤：

⑴

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

⑵

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

⑶

检验猜想。即

例1:类比实数的加法与乘法,并列出他们类似的性质.(解法见课本) 例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 截面圆

弦 大圆

直径周长 表面积

圆面积 球体积

圆的性质

球的性质

观察，比较

联想，类推

猜测新的结论

圆心与弦(不是直径)的中点的连球心与截面圆(不是大圆)的圆点线垂直于弦

的连线垂直于截面圆

与圆心距离相等的两弦相等；与圆与球心距离相等的两截面圆相等；心距离不等的两弦不等，距圆心较与球心距离不等的两截面圆不等，近的弦较长

距球心较近的截面圆较大

圆的切线垂直于过切点的半径；经球的切面垂直于过切点的半径；经5

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主备人: 过圆心且垂直于切线的直线必经过球心且垂直于切面的直线必经过切点

过切点

经过切点且垂直于切线的直线必经过切点且垂直于切面的直线必经过圆心

经过球心

三、巩固练习：

课本第31页2,3 四、教学小结：

1、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

2、类比推理的一般步骤：

a)

找出两类事物之间的相似性或者一致性。

b)

用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。

五、作业：课本41页

练习:3 六、教后感

6

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主备人: 第二章 推理与证明

时间:2.7---2.14 教案序号: 3 课 题：演绎推理

课 型：新授课

教学目标：1. 了解演绎推理

的含义。

2. 能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。

3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重点：正确地运用演绎推理 进行简单的推理

教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学过程：

一．

复习:合情推理

归纳推理 从特殊到一般

类比推理 从特殊到特殊

从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想

二．

问题情境。

观察与思考

1所有的金属都能导电

铜是金属, 所以，铜能够导电

2.一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数，

所以， (2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, tan 

是三角函数,

所以，tan 是

周期函数。

提出问题

：像这样的推理是合情推理吗？

二．学生活动

：

1.所有的金属都能导电

←————大前提

铜是金属, ←-----小前提

7

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主备人: 所以，铜能够导电 ←――结论

2.一切奇数都不能被2整除

←————大前提

(2100+1)是奇数，←――小前提

所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论

3.三角函数都是周期函数, ←——大前提

tan 

是三角函数, ←――小前提

所以，tan 三，

建构数学

是

周期函数。←――结论

演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

１．演绎推理是由一般到特殊的推理；

２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括

⑴大前提---已知的一般原理；

⑵小前提---所研究的特殊情况；

⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

三段论的基本格式

M—P（M是P） （大前提）

S—M（S是M） （小前提）

S—P（S是P）

（结论）

3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P. 四，数学运用

例1.已知lg2=m,计算lg0.8 解

（1） lgan=nlga(a>0)---------大前提

lg8=lg23————小前提

lg8=3lg2————结论

lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提

lg0.8=lg(8/10)——－小前提

8

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主备人: lg0.8=lg(8/10)——结论

例2.已知a,b,m均为正实数,b

练习：第35页

练习第 1，2，3，4,5题

六

回顾小结：

演绎推理具有如下特点:课本第33页

。

演绎推理错误的主要原因是

1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。

七 作业：第35页 练习 第5,6题

。

八 教后感:

9

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主备人: 第二章 推理与证明

时间:2.7---2.14 教案序号: 4 课题：推理案例赏识

课型：新授课

教学目标：

1. 了解合情推理和演绎推理

的含义。

2. 能正确地运用合情推理和演绎推理 进行简单的推理。

3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别

教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。

教学过程：

一,复习

合情推理和演绎推理的过程 二,案例：

例1 :正整数平方和公式的推导。

提出问题

我们知道，前n个正整数的和为

1S1(n)=1+2+3+…….+n= 2n(n+i) 那么，前n 个正整数的平方和

S2（n）＝122232........n2＝？ ②

三，数学活动

思路1 （归纳的方案） 参照课本

第36页

－37页

三表 猜想 n(n1)(2n1)S2（n）＝6

思考

：上面的数学活动是由哪些环节构成的？

在这个过程中提出了哪些猜想？

提出猜想时使用了哪些推理方法？

合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？

思路2 （演绎的方案）

10 ①

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主备人: 尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。

2

把正整数的平方和表示出来，参照课本37页 左右两边分别相加，等号两边的S2（n）被消去了，所以无法从中求出

S2（n）的值，尝试失败了。

（2）从失败中吸取有用信息，进行新的尝试

（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。左右两边相加，

终于导出了公式。

思考： 上面的数学活动是由哪些环节构成的？

在这个过程中提出了哪些猜想？

提出猜想时使用了哪些推理方法？

合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。

四，数学理论：

上面的案例说明：

（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。

（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。

（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。

五，教学小结：

（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。

（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。

（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想11

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主备人: 作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。

六，作业：非常学案

七，教后感：

12

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主备人: 第二章 推理与证明

时间:2.7---2.14 教案序号: 5 课题：直接证明

课型：新授课

教学目标：

1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点．

2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

教学重点：会用综合法和分析法思考问题

教学难点：会用综合法和分析法思考问题

教学过程：

一、自学导航

1、问题：如图，四边形ABCD是平行四边形

求证：AB=CD，BC=DA 证明：:连结AC, ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD,BC∥CD 故∠1=∠2, ∠3=∠4

又∵AC=CA ∴⊿ABC≌⊿CDA ∴AB=CD,BC=DA 思考：以上证明方法有什么特点？

2、观察下面问题的证法：

设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

证明：要证

a3+b3＞a2b+ab2成立，

只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，

即需证a2-ab+b2＞ab成立．(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，

即需证(a-b)2＞0成立．

13

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主备人:

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)＞0显然成立，

由此命题得证．

思考：以上证明方法有什么特点？__________________________．

3.观察基本不等式的两种证明方法

二、探究新知

1．直接证明

直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法与分析法．

（1）综合法与分析法要点解析表

2

（2）综合法和分析法的优缺点

分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述繁琐，且容易出错．

综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．

因此，在实际解题时，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法．先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）14

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主备人: 的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，则原命题得证．

三、例题精讲：

例1、

课本例1（分别用综合法和分析法证明）

点评：分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述．因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地

表述过程

四、课堂精练

课本P44练习1、2、3、4 五、回顾小结

分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路；

综合法 条理清晰，易于表述通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地

六.作业

课本P47 练习1、2 七.教后感:

15

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主备人: 第二章 推理与证明

时间:2.7---2.14 教案序号: 6 课 题：间接证明

课 型：新授课

教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点．

教学重点：反证法的思考过程、特点

教学难点：反证法的思考过程、特点

教学过程：

一、自学导航

1、复习综合法与分析法的推理过程及注意2、问题：如图，四边形ABCD是平行四边求证：AB=CD，BC=DA

在《数学（必修）》第三章中，2如何证明命题“在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB与A1C是异面直线”的？

点

形，

2、初中平几中有一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”．如何证明？

二、探究新知

1．定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法．即：欲证p则q，证：p且非q（反证法）

反证法的步骤：1）

反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；

2）

归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；

3）

存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立. 三、例题精讲：

例1 求证：正弦函数没有比2小的正周期．

证明：假设T是正弦函数的周期，则对任意实数x都有:sin(xT)sinx令16

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主备人: x=0, 得

sinT0即Tkπ,k∈Z又0

例2 证明2不是有理数．（课本例2）

注意事项

注意一：“否定所证结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．

否定结论的步骤是：①弄清结论本身的情况；②找出结论的全部相反情况；③正确地否定上述结论．

注意二：反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是由于开始假定“结论的反面是正确的”是错误的．

注意三：在反证法证题的过程中，经常画出某些不正确的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的，是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，应完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观性，这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的．

注意四：用反证法证明命题时，若原命题结论的反面不惟一，这时要把每种可能一一否定，不要遗漏．

(反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．) 四. 巩固练习：

1、课本42页的练习1、2、3、4 17

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主备人: 2、用反证法证明“如果ab，那么ab”，假设的内容是

．

3、用反证法证明：“ a>b”. 应假设（ a≤ b）

4、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（假设至少有两个钝角 ）

5、有关反证法中假设的作用，下面说法正确的是（

）. A．由已知出发推出与假设矛盾

B．由假设出发推出与已知矛盾

C．由已知和假设出发推出矛盾

D．以上说法都不对

五、回顾小结

反证法的定义，步骤，注意点

六、作业: 课本47页的练习3、4 七.教后感: 3318