一 比较法优质课教案

2.1.1比较法证明不等式

教学目标：1.理解比较法的原理，

2.能熟练地运用作差、作商比较法证明简单的不等式，培养代数推理能力.

3.了解琴生不等式及其背景，渗透数学文化

教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学过程：

一、温故知新：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

abab0

abab0

abab0

二、方法探究：

33221自主探究：设a,b都是正数，且ab，求证：ababab。

(同学们自主完成，并归纳比较法的步骤) 24222方法巩固：若实数x1，求证：3(1xx)(1xx).

证明：采用作差比较法：

3(1x2x4)(1xx2)2

242423

=33x3x1xx2x2x2x

=2(xxx1)

=2(x1)(xx1)

22

=2(x1)[(x)].

4322123413x1,从而(x1)20,且(x)20,[来源:学科网ZXXK]

24

22∴

2(x1)[(x)]0,

1234∴

3(1x2x4)(1xx2)2.

变式讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

3拓展变化：已知a,bR,求证aabbabba.

分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 作差比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

ab0ababab(a还有其他方法吗？注意a,bR,

2）作商比较法：设ab0,

abbabbabbab)0，从而原不等式得证。

aabbaa1,ab0,

ba()ab1.故原不等式得证。

bbab4学以致用：甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有t1tSS2SS(mn)m1nS，t2，可得t1，t2，

2m2nmn2mn22S(mn)22SS(mn)S[4mn(mn)2]从而t1t2，

mn2mn2(mn)mn2(mn)mn其中S,m,n都是正数，且mn。于是t1t20，即t1t2。

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果mn，甲、乙两人谁先到达指定地点？

三、课堂练学：

1．比较下面各题中两个代数式值的大小：[来源:学_科_网Z_X_X_K]

（1）x2与x2x1；（2）x2x1与(x1)2. 2．已知a1.

求证：（1）a22a1;

（2）abc32a1.[来源:学科网]

21a3．若abc0，求证abc(abc)abc.

四、学习小结：同学们回忆一下，本节课我们学习了什么？

1.比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

2.用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

3.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。）

五、课后作业：[来源:学。科。网][来源:学科网]

1.课本23页第1、2、3、4题

2. 设f(x)2x21,pq0,pq1.求证；对任意实数a,b，恒有pf(a)qf(b)f(paqb).

3.

“欲穷千里目,更上一层楼.”在网上搜索“琴生不等式知识”，完成下列填空

10. 在例5中,

pq0,pq1p0,q0.特别地, 令p1,q1

, 则得

22

f(2)2

再结合函数的图象, 这数和形

20.琴生在1905年给出了一个定义：设函数f(x)定义域为[a,b]，如果x1,x2[a,b]，都有

f(2)2

（1）

则称f(x)为[a,b]上的下凸函数. 若把(1)式的不等号反向，则称f(x)为[a,b]上的

函数.

30. 其推广形式是：若函数f(x)的是[a,b]上的下凸函数，则x1,x2,

f(,xn[a,b]，都有

（2）

n)n

当且仅当x1x2xn时等号成立. 一般称（2）式为琴生不等式.

40.琴生不等式推广形式：设q1,q2,,qnR,q1q2qn1，f(x)是[a,b]上的下凸函数，

则

x1,x2,,xn[a,b]都有：f(q1x1q2x2qnxn)，

当且仅当x1x2xn时

.若f(x)是上凹函数，则上述不等式反向.

把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式