一 比较法教学实录与评析

第二讲

证明不等式的基本方法

—比较法（教学设计）

1、

教学过程设计：

1.1 教学理念：

《普通高中数学课程标准》（实验）指出“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是公民所必须具备的一种基本素养。而数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐渐形成的。它是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力。高中阶段的数学核心素养包括：数据分析素养、数学运算素养、数学建模素养、数学抽象素养、几何直观素养、逻辑推理素养。这些素养既相互独立，又相互交融，形成一个有机整体。”因此，数学核心素养是数学知识、技能、能力及情感态度价值观的综合体现。同时，高中数学教学要树立以发展学生的数学核心素养为导向的数学意识，着力创设有利于培养学生数学核心素养的教学情景。总之，我们应时刻关注课堂核心素养，以它来指导我们的日常课堂教学。

本节课以学生为主，以“五环教学模式”为线路，在师生共同研讨学习的过程中，提高学生的数学核心素养。

1.2 教材结构与内容分析：

不等式是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域占据着重要的地位，它在日常生活中有广泛应用，它是表达日常生活中不等关系的重要数学模型，它更是学习、解决、和研究数学中各种问题的有力工具。由于不等式的形式多种多样，所以不等式的证明方法也各有不同。在证明不等式的所有方法中，比较法是最基本、最重要的方法，它所依据的是实数大小的基本事实。在历年的高考题中，都有比较法的应用。而且，不等式证明过程中蕴含的转化与化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想，它们在培养学生的数学运算素养、数学建模素养、几何直观素养、逻辑推理素养等方面具有重要的意义。

证明不等式的基本方法-------比较法，是人教A版选修4-5，第二讲第一节的内容，需要1个课时完成教学。本节内容是第一课时，是本章的重点。

1.3学情分析：

学生在学习本节内容之前，已学习了必修5 第三章

不等式的内容，还学习了选修4-5的第一讲

不等式和绝对值不等式，进而具备了一定的知识储备，拥有一定的运算能力和探究能力。对证明不等式的方法有所思考，怎么进行不等式证明，步骤是什么，证明过程中蕴含了哪些数学思想，证明的过程还可以培养哪些数学核心素养。总之，学生在情感上具备了学习新知识的渴望和驱动力。

1.4学习目标：

1.理解比较法证明不等式的依据。

2.掌握比较法证明不等式的一般步骤。

3.通过学习比较法证明不等式,培养对转化思想和分类讨论思想的理解及应用。

1.5教学重点与难点：

1.掌握比较法证明不等式的一般步骤；对化简过程中恒等变换技能的领悟。（教学重点）

2.通过学习比较法证明不等式,培养对转化思想和分类讨论思想的理解及应用。（教学难点）

1.6教学目标：

1.通过比较大小的运算提升学生的数学运算素养。

2.借助不等式证明的严密性，证明时书写的规范性，培养学生的逻辑推理素养。

3.会用比较法解决高考题中的选择题和选做题（解答题）。

1.7教学方法设计：

1、创设情境，以问题串为载体，以启发、探究活动为引领。

2、学习方式：观察图像、思考问题、引出课题、小组课前完成导学案、合作交流、演练习题、归纳反思、课后提升。

3、本节课的教学媒体：PPT。

1.8教学程序设计：

1.8.1

创设情景，提出问题，引入课题

如果我们把两位同学所切蛋糕的表面图简化一下，

记为图1、图2。两个红色正方形的边长分别为a,b. 问题2：同学们能求出同色的面积大小吗？

问题3：若能，用数学符号怎么把它们表示出来呢？

问题4：由图1和图2能得到一个什么样的关系式？”

图1

图2 由图1、图2可得

：

(当且仅当a=b时，等号成立)

问题5：如何证明这个不等式呢？

设计意图:

（1）以一个现实生活中的切蛋糕问题为切入点，得到一个重要不等式，顺理成章引入本节课要学习的证明不等式的基本方法。

（2）学生在熟悉的情景中自主学习，可利用已有的知识与生活

经验将当前的切蛋糕问题转化与化归为已学过的一个重要不等式，为引入新课作好铺垫。

abab0abab0abab0

a,bRab0ab0ba0a1ba1ba1b

微

体

验

2.已知a,b都是正数，且a≠b，

求证：

设计意图：

（1）学生通过阅读课本第22页、第23页的例题，独立完成基础知识的填空，进而形成一个小的知识体系。这样可以增强学生自主学习的能力。

（2）小组合作交流课前解决以上三道题目，每个组员记录下每道题所花去的时间，小组内比一比谁做得快，谁的书写最规范。

设计意图：增强学生的交流，反馈学生的合作情况，考察学生的自我发现问题并把它转化成数学语言的能力。同时可以检查学生的预习完成情况，为课堂问题反馈环节作铺垫。进而掌握学生存在的问题，对学生可以有针对性的教学。

a互动一、如果用a千克白糖制出b千克糖溶液,则糖的质量分数为,b若在上述溶液中再添加m千克白糖，此时糖的质量分数增加到am.将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.bmama数学问题：已知a，b,m都是正数，并且a0，b>0,m>0,且a

amab(am)a(bm)babmabamm(ba) =bmbb(bm)b(bm)b(bm)b(bm)

a0,b0,m0,且ab.bm0,ba0,am

aama0,即.bmbbmb

ama故

bmb

互动二、设a,bR,求证:abab, 当且仅当ab时，等号成立.

abbaa0,b0,ab0，ab0

abba

.



设计意图：这两个互动的设置是为了师生之间的交流，用作差法来解决有关问题；注重基础知识的运用，方法的选择；引导学生分析解决问题的切入点，理清解题思路，运算方向的走向；规法解题的书写过程。同时，对学生的预习情况是一次很好的检查机会。

1.求证a3b2b(ab).222.求证ab22a2b.(福建高考理数)

22

（2）若a,b∈M，试比较ab+1与a+b的大小. 2017年高考理数（全国Ⅱ卷—解答题第23题）

23．已知a>0,b>0,且

，证明：

(1)

(a+b)(

)≥4. (2)

a+b≥2.

设计意图：学生经历课前预习—课堂师生互动—课内训练巩固这三个环节，学生对比较法解决不等式的问题会有更深刻的认识和理解，可以更好地体现学生的书写规范；可以培养学生的竞争意识，强化学生的运算能力，体现学生的数学运算素养，提高学生的数学逻辑推理素养。

abab0ab

ab0abab0a,bR

aab01baab01baba01b

设计意图：让学生再次熟悉不等式的基础知识、巩固比较法证明不等式的步骤；理解不等式解决应用题的步骤；知晓比较法的应用范围。

必做题：课本P23

1、2、3、4题

选做题：

2017年高考理数（全国卷I选择题第11题）

11.

设x,y,z为正数，且

= = ,则（

）

A.2X<3y<5z

B. 5z<2x<3y

C.3y<5z<2x

D.3y<2x<5z

2．设a＞b＞0 ，x＝－

，y＝－

，则x与y的大小关系是x___y.

(2016年高考理数全国卷II解答题第24题)

24.若函数f(x)=| x-|+|x+|,不等式f(x)<2的解集为M,

(1) 求集合M.

(2)证明：若a,bM时,|a+b|<|1+ab|

设计意图：

（1）必做题的设置是让学生在课后对不等式知识的巩固和强化。

（2）选做题来源于高考题，是课后拓展提升，针对学有余力的学生，通过做题可以为高考积累有用的经验。

我还有这些不足：

(1)

________________________________________________________ (2)

________________________________________________________ 我的课下提升方案：

(1)

________________________________________________________ (2)

________________________________________________________

设计意图：学生可以在课后思考这节课的学习情况，找出不足；制定适合学生本人的提升方案，弥补不足。