1.3 二项式定理（通用）教学实录与评析

二项式定理教学设计（第一课时）

一、教学目标: 1. 学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题. 2. 学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力. 3. 通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美.结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感. 二、学情分析 1.有利因素

授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力.学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节展开式中各项系数的研究会有很大帮助. 2.不利因素

本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度.在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程. 三、教法分析

遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”，

并利用多媒体辅助教学. 本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程. 四、教学重点，难点，关键

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。

（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。

难点：

（1）二项展开式的规律的理解和掌握。

（2）“二项式系数”和“系数”的区别。

关键：（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关系；（2）利用组合的知识归纳二项式系数；（3）充分利用二项展开式的规律。 五、学法分析

由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，也可利用组合的有关知识加以分析，归纳，通过对二项式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析，猜想，归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察，联想，归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生，发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。 六、教学手段

制作多媒体课件，以增加课堂容量及知识的直观性，从而提高学生学习的兴趣，使学生进一步加深对定理，概念的理解。

七、教学设计

1、知识回顾

1

我们学了哪些计数方法？（枚举法、分类计数原理、分步计数原理、排列、组合）（回顾各种计数方法的思维过程和解题过程，保障后面能选取最便捷的方法，并且运用该方法能准确、快速地得到答案）

2、创设情境

问题1：桶里有大小相同，质地相同的a、b两小球，有放回地取两次，有几种不同的取法？请分别用枚举法、分类计数原理、分步计数原理进行分析.

枚举法：aa ab ba bb共4种

分步计数原理:第一步，第一次取球有两种方法；第二步，第二次取球有两种方法，所以一共22=4种. 分类计数原理：第一类，都取a，1种；第二类，取不同，2种；第三类，都取b，1种；共4种

3、讲授新课

问题2：请将逐项展开并整理，思考问题1与问题2的处理过程之间有何联系与区别？（同：展开的过程就是取小球的过程.异：球ab、ba属两种方法，展开式中的ab、ba可合并同类项）（取球是同学们极为熟悉的例子，解决该问题已经得心应手，并已深刻理解。将新问题回归到已掌握的知识上，便于新问题的解决）. 问题3：将展开并整理后，各项的系数与取球问题有何联系？（整理后，各项系数即取球问题中分类记数原理的各类结果数.）

问题4：桶里有大小相同，质地相同的ab两小球，有放回地取三次，有几种不同取法？请分别用枚举法、分类计数原理、分步计数原理进行分析（取两次的时候，学生可以用枚举法在转念间就解决问题，所以就会忽视了分类记数原理和分步记数原理对于解决该问题的优势，取三次就相对困难，让学生体会分类记数原理和分步记数原理对于解决多次取球问题的优越性）. 枚举法：（略）

分步记数原理：222=8 分类记数原理：第一类，三次都不取b，取a,

种；第二类，任一次取b,其他两次种；种；第三类，任两次取b,其他一次取a,

种，即共+++=8种. 第四类，全都取b，

2

问题5：谁能最快写出将展开整理后的多项式，并说出各项系数和？（再次理解取球过程与展开式的联系，特别是展开式各项的系数与取球过程中分类记数原理的联系各项系数和与取球方法总数的联系）. 练习：写出将展开并整理后的多项式，并说出各项系数和？（巩固展开式各项、各项系数及系数和得出的方法）

问题6：将展开并整理后，有哪些项？为什么？（让学生体会从特殊到一般，归纳并证明的过程）. 板书

项数：

第一项

第二项

…

第n+1项

项：

二项式定理：

=

+

+

…

+

+…+=

…

二项式系数：

二项式系数和：问题7：

+

…

展开并整理后，各项的项数、次数有什么规律？你能根据规律归纳一个式子，可以用来表示其中任一项吗？

1. a的次数与b的次数和为n；

2. 组合数上标与b的次数相同. （让学生在理解二项式定理得出的过程基础上，熟练掌握二项式定理的特点.）

板书

项数：

项

…

第n+1项

项：

二项式定理：

=二数：

项

+

+

…

+

式

系

…

第一项

第二

…

3

二项式系数和：通项：

++…+

=

4、课堂巩固

例：已知二项式

（1）请写出它的展开式；（2）请写出第4项的二项式系数；（3）请写出第4项的系数；（4）请写出含项的系数. （二项式定理的应用）

练：已知二项式

（1）求展开式第四项的二项式系数；（2）求展开式第4项的系数；（3）求展开式第4项；（4）求展开式中的有理项. （巩固基本知识、基本概念.）

5、课堂提升

变式提升：请说出的展开式中（1）含项的系数；（2）含项的系数（在理解二项式定理得出的思想方法基础上，运用该思想方法解决新问题，巩固该思想方法）——思想方法的应用

6、课堂小结（让学生回顾知识形成过程，梳理思路，自我归纳总结，形成良好的自主反思习惯）

请大家思考：

1.本节课新学习的基本知识点；

2.本节课新知识点得出用了什么思想方法？

7、课堂作业（课堂基本知识点的应用、基本思想方法的应用提升）

1.探究：展开并整理后，有哪些项？

2.课本P31

T1~T4 3.课本P37

T3，T5

4