一 数学归纳法优秀教学设计说课稿

数学归纳法

教学要求：了解数学归纳法的原理，以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题和几个经典不等式. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.

教学过程：

一、复习旧知：

1. 多米诺骨牌游戏. 分析成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也一定倒.

回顾：数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（k≥n0，

k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

2. 练习：已知f(n)1352n1,nN*，猜想f(n)的表达式，并给出证明？

过程：试值f(1)1，f(2)4，…，

猜想f(n)n2，用数学归纳法证明.

二、新课教学：

1.

教学数学归纳法的应用：

①

例1：求证111111111,nN*

2342n12nn1n22n分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？

待证的目标式是什么？如何从假设出发？

关键：在假设n=k的式子上，如何同补？

小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. ②

例2：求证：n为奇数时，xn+yn能被x+y整除. 分析：（凑配）xk+2+yk+2=x2·xk+y2·yk=x2(xk+yk)+y2·yk－x2·yk =x2(xk+yk)+yk(y2－x2)=x2(xk+yk)+yk·(y+x)(y－x).

③

例3：比较n2与2n的大小，试证明你的结论.

分析：试值n1,2,3,4,5,6

→

猜想结论

→

用数学归纳法证明

→

要点：(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2….

小结：试值→猜想→证明

2. 练习：

①

求证: (11)(1)(1131)2n1（n∈N*）. 2n11222②

求证：1335③

用数学归纳法证明：

n2n(n1),nN*. (2n1)(2n1)2(2n1)

（Ⅰ）72n42n297能被264整除；

（Ⅱ）an1(a1)2n1能被a2a1整除（其中n，a为正整数）

④

试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn. 解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a=b, c=bq (q＞0且q≠1). ∴

an+cn=…. qancnacn

当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c，则需证＞()(n≥2且n∈N*). 22ak1ck11k+1k+1k+1k+11(a+c+a+c)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a) …. 当n=k+1时，244=

3.

小结：

（1）两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. （2）应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧：凑配、放缩.

三、巩固练习：

1. 练习：教材50

1、2、5题

2. 作业：教材50 3、4、6题. ackacack+11kk(a+c)(a+c)＞()·()=() . 4222