三 反证法与放缩法教案1

2.3放缩法

教学目标：

1、通过实例，体会放缩法的含义、过程与方法，了解放缩法的基本步骤，会用放缩法证明简单的命题。

2．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。

3．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

教学重点：体会放缩法证明命题的思路方法，会用放缩法证明简单的命题。

掌握证明不等式的两种放缩技巧。

教学难点：会用放缩法证明简单的命题。体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。

教学过程: 一、引入：

所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。在高中数学内容中，如何用“放缩法”证明不等式？其基本技巧是：在证明不等式时，根据要证明的不等式的结构特征，

把不等式的一边适当地放大或缩小

，再用不等式的传递性来证明不等式．

“放缩法” 也是证明不等式的非常重要的方法，而且它的技巧性较强

，

应用比较灵活、广泛。

放缩法经常采用的技巧有：（1)舍去一些正项（或负项）

，

（2）在和或积中换大（或换小）某些项

，

（3）扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等等。本文就列举一些典型例题，给同学们讲讲这样的证明方法。

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

在和或积中换大（或换小）某些项 ax2x1例1.

（2018全国卷3文科节选）已知函数f(x)．

ex证明：当a1时，f(x)e0．

解：当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex．

令g(x)x2x1ex1，则g(x)2x1ex1．

当x1时，g(x)0，g(x)单调递减；当x1时，g(x)0，g(x)单调递增；

所以g(x)g(1)=0．因此f(x)e0．

扩大（或缩小）分式的分子（或分母）

例2、若n是自然数，求证11112.

2222123n

证明：1111,k2,3,4,,n.

k2k(k1)k1k11111111

222211223(n1)n123n11

111111)()

1223n1n1

=22.

n1111注意：实际上，我们在证明22222的过程中，已经得到一个更强的结论123n11111，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。

22222n123n1111例3、求证：13.

112123123n111证明：由k1,（k是大于2的自然数）

123k122221111

得1

112123123n11n11112313.

1123n11122222n112

=()(课堂练习：

1．

若a, b, c, dR+，求证：1

abcd2

abdbcacdbdac11111.

n1n2n32n21352n113、设n为自然数，求证(2)(2)(2)(2).

nnnnn!2、设n为大于1的自然数，求证课时小结：1、利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步

分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步

作出与所证不等式相反的假定；

第三步

从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

2、常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，

（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；

（Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。