1.3 二项式定理（通用）名师教学实录

第三节

二项式定理

1．二项式定理

n1n1nkknn(1)定理:公式(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnb(n∈N*)叫做二项式定理．

na＋Cnana－－nkk(2)通项:Tk＋1＝Ckb为展开式的第k＋1项．

na－2．二项式系数与项的系数

(1)二项式系数:二项展开式中各项的系数Ckn(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．

(2)项的系数:项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．

3．二项式系数的性质

性质

对称性

增减性

内容

n与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn－m

n＋1n＋1当k＜时，二项式系数逐渐增大；当k＞时，二项式系数逐渐减小

22n2；当n第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn当n是偶数时，中间一项2n－1n＋1是奇数时，中间两项第且同时＋1项和第＋1项的二项式系数相等，22取得最大值，最大值为n-1Cn2n最大值

或n+1Cn2

4．各二项式系数的和

12knn(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cn＝2. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，

35024n1即C1. n＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2－[小题体验]

1．(教材习题改编)(x＋2)8的展开式中x6的系数是(

) A．28

B．56

C．112

D．224

2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为(

) A．1

B．129

C．128

D．127

x－183．(教材习题改编)4的展开式中的有理项共有________项．

2x

2x－xn展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为(

) 4．若二项式A．6

B．10

C．12

D．15

1

1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．

2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．

3．注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Ck

n(k＝0,1，…，n)．

考点一

二项展开式中特定项或系数问题

2x＋210的展开式中的常数项是(

) 1．二项式xA．180

B．90

C．45

D．360

12n2．若x－xx展开式中含有x项，则n的最小值是(

) A．15

B．8

C．7

D．3

3．(2015·北京高考)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________．(用数字作答)

4．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(

) A．6

B．7

C．8

D．9

求二项展开式中的项的3种方法

nkk求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Ckb

na－(1)第m项：此时k＋1＝m，

(2)常数项：令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；

(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．

特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．

考点二

二项式系数及项的系数问题

1．(2015·湖北高考)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(

) A．29

B．210

C．211

D．212

2．(2016·成都一中模拟)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(

) A．－2

B．－1

C．1

D．2

3．在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(

) 2

A．8

B．9

C．10

D．11

4．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为(

) A．1或3

B．－3

C．1

D．1或－3

1．赋值法研究二项式的系数和问题

“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

2．二项式系数最大项的确定方法

n第＋1项的二项式系数最大；

(1)如果n是偶数，则中间一项2n＋1n＋1(2)如果n是奇数，则中间两项第项与第＋1项的二项式系数相等并最大．

22

考点三

多项式展开式中的特定项或系数问题

角度一：几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题

1．(2016·荣成模拟)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是(

) A．10

B．15

C．20

D．25

角度二：几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题

2．(2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

角度三：三项展开式中特定项(系数)问题

3．(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(

) A．10

B．20

C．30

D．60

1．对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．

2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

3．对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．

3

1．1－2x25的展开式中常数项是(

) x

A．－5

B．5

C．－10

D．10

x＋12n*2．3(n∈N)的展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为(

) xA．120

B．210

C．252

D．45

3．(2016·保定期末)在(1＋x3)(1＋x)5的展开式中，x3的系数是(

) A．10

B．11

C．12

D．15

a1a2a2 0174．若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 017x2 017(x∈R)，则＋2＋…＋2 017的值为________．

222

5．(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为(

) A．－210

B．210

C．30

D．－30

6．(2016·郑州质检)二项式ax＋362的展开式的第二项的系数为－3，则∫a－2

xdx的值为(

) 65711A．

B．

C．3

D．

3337．设5x－1n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式x中含x的项为________．

8．若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________.

1x3＋x7的展开式中x5的系数是________．(用数字填写答案) 9．(2015·安徽高考)

10．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.

1x－x6的展开式中的常数项为________．

11．(1＋x＋x2)16215的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开12．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5x＋x式的系数最大的项等于54，求正数a的值．

4

5