1.3 二项式定理（通用）优秀教学设计

§1．3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课

课时安排：第1课时

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

教学过程：

一、复习引入：

⑴(ab)a2abbC2aC2abC2b；

0312233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

22202122⑶(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

322344即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

4展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，a的系数是0112322；恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，abC404的系数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，4b4的系数是C4，

23334

∴(ab)C4aC4abC4abC4abC4b．

404132223344二、讲解新课：

0n1n二项式定理：(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

nan，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： n00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

n11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

nrrrr恰有r个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

有n都取b的情况有Cnn种，bn的系数是Cnn，

rnrrCnabnnCnb(nN)，

0n1n∴(ab)nCnaCnab这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)的二项展开式，⑶它有n1r项，各项的系数Cn(r0,1,nn)叫二项式系数，

rnrrrnrr⑷Cnab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnab．

1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

三、讲解范例：

14例1．展开(1)．

x1414464111112313解一：

(1)1C4()C4()C4()()1234．

xxxxxxxxx1414144413123xCxCxCx1解二：(1)()(x1)()

444xxx46411234．

xxxx

例2．展开(2x16)．

x

解：(2x161)3(2x1)6

xx16152433221[(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)1]

666663x6012164x3192x2240x16023．

xxx12例3．求(xa)的展开式中的倒数第4项

解：(xa)的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

12

例4．（1）求(x339)的展开式常数项；

x39)的展开式的中间两项

x（2）求(x339rx9r3rr2r9解：∵Tr1C()()C93x2，

3xr9∴（1）当9（2）(36r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

xx912T5C3

498994251093，T6C93x2378x3

x15例5．（1）求(12x)的展开式的第4项的系数；

93（2）求(x)的展开式中x的系数及二项式系数

71x3解：(12x)的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

7∴(12x)的展开式的第四项的系数是280．

9r9rrrr92r（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x()(1)C9x，

71x∴92r3，r3，

1x

333∴x的系数(1)3C984，x3的二项式系数C984．

四、课堂练习：

1.求2a3b的展开式的第3项. 2.求3b2a的展开式的第3项. 3.写出(3x66123x)n的展开式的第r+1项. 4.求x2x37的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业：

P36 习题1.3A组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）

八、教学反思：

ｎ (a+b) =

ｎ这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)的 ，其中Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。